Непустое подмножество векторного (линейного) пространства над полем является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов сумма и для всякого вектора и любого вектор . В частности, подпространство обязательно содержит нулевой вектор пространства (он также является нулевым вектором пространства ).
Векторное подпространство называется собственным подпространством, если и содержит хотя бы один ненулевой вектор.
Векторное подпространство называется инвариантным подпространствомлинейного отображения, если , то есть для любого вектора . Если — собственное значение отображения , то все векторы , удовлетворяющие соотношению (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения . Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению.
Подпространство евклидова векторного пространства также является евклидовым пространством, но подпространство псевдоевклидова векторного пространства может быть и псевдоевклидовым (другой сигнатуры), и евклидовым пространством, а также может быть вырожденным или изотропным[1].
Подпространство метрического пространства с метрикой обладает индуцированной метрикой, которая определена формулой для любых [2].
Подпространство топологического пространства с топологией обладает индуцированной топологией, открытыми множествами в которой являются множества , где — всевозможные открытые множества в топологии [2].
Пусть — проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства , и — векторное подпространство. Тогда проективное пространство является проективным подпространством[3].