Эйлерова характеристика

• Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

  ${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,}$

где ${\displaystyle k_{i}}$ обозначает число клеток размерности ${\displaystyle i}$.

• Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти ${\displaystyle b_{n}}$ как знакопеременная сумма:

  ${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...}$

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

• Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

• Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
  • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
• Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулю^[1].
• Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равна произведению их эйлеровых характеристик:

${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).}$

Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

${\displaystyle \chi =2-2g.\ }$

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

${\displaystyle \chi =2-k.\ }$

В 1752 году Эйлер^[3] опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

${\displaystyle S+H=A+2,}$

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое ${\displaystyle (-2g),}$ где ${\displaystyle g}$ — количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка: ${\displaystyle 16+16=32+2-2\cdot 1.}$

В 1899 году Пуанкаре^[4] обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},}$

где ${\displaystyle A_{i}}$ — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.}$

• Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.