Ортогональный базис

Термин ортогональность составлен из греческих слов ὀρθος — прямой, правильный и γωνία — угол. Буквальное значение — «прямоугольный». Термин встречается уже у Евклида. Применительно к функциям термин впервые был использован Ф. Клейном в курсе по уравнениям математической физики (1889), а затем широко использовался в школе Гильберта. Отдельные системы ортогональных функций изучались уже в XVIII веке. Начиная с работ Штурма и Лиувилля (1836) системы ортогональных собственных функций дифференциального уравнения использовались постоянно. Фурье открыл свойство ортогональности системы ${\displaystyle f_{n}(x)=e^{n_{i}x}}$ на ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ и получил соответствующие выражения, названные позднее «коэффициенты ряда Фурье». Первыми найденными ортогональными многочленами явились многочлены Лежандра (1784), которые он нашёл как частные решения дифференциального уравнения и доказал свойство их ортогональности на промежутке ${\displaystyle (-1,1)}$.

Статья П. Л. Чёбышева «О непрерывных дробях» (1855) — первая в серии статей, где введены некоторые важные ортогональные многочлены и развита общая теория ортогональных многочленов и специальных ортогональных систем. Так появились многочлены Чёбышева-Эрмита (1864), Чёбышева-Лагерра (1879) и др.. Г. Грассман впервые (1861) указал, что обращение в нуль «внутреннего произведения» (подобия скалярного) может стать основой для определения ортогональности элементов общей природы. Идея была реализована при создании функционального анализа в начале ХХ века — в работах Пинкерле, затем Фреше и математиков школы Гильберта. В 1905 году Шмидт изобрёл метод ортогонализации системы. Строгое исследование ортогональных систем функций было проведено В. А. Стекловым. В течение 30 лет (с 1896) он публиковал работы на эту тему, построив постепенно теорию замкнутости ортогональной системы функций^[1].

Термин базис происходит от греческого слова βάσις (основа). У Евклида и других древнегреческих математиков это слово означало горизонтальную линию, которая рассматривалась как элемент плоской фигуры, или плоскую фигуру — как элемент пространственного тела. В книге Райера (1708) базис означает основание фигуры. В русском языке слово встречается с 1499 года в виде «базес».

Систему векторов ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}}$ назвали базисом Дедекинд (1885, 1887) и Молин (1893). В 1890 г. Гильберт доказал теорему о базисе, которая стала исходным пунктом для развития коммутативной алгебры^[2].

В евклидовом пространстве понятие ортогональности вводится через скалярное произведение пары векторов ${\displaystyle (x,y)}$.

Ортогональными считаются векторы, если их скалярное произведение равно ${\displaystyle 0}$.

Упорядоченная система элементов ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}}$ линейного пространства ${\displaystyle V}$ называется базисом этого линейного пространства, если элементы ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}}$ линейно независимы и каждый элемент из ${\displaystyle V}$ можно представить в виде их линейной комбинации.

Система элементов ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{k}}$ называется ортогональной, если ${\displaystyle (f_{i},f_{j})=0}$, при ${\displaystyle i\neq j}$, и ортонормированной, если ${\displaystyle (f_{i},f_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,i=j,\\0,i\neq j\end{cases}}}$. Символ ${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1,i=j,\\0,i\neq j\end{cases}}}$ называют символом Кронекера^[3].

Ортонормированная система функций ${\displaystyle \{\varphi _{n}(x)\}}$, ${\displaystyle \varphi _{n}(x)\in L_{2}[a,b]}$, называется замкнутой, если в пространстве ${\displaystyle L_{2}[a,b]}$ не существует отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям ${\displaystyle \varphi _{n}(x)}$. В пространстве ${\displaystyle L_{2}[a,b]}$ понятия полноты и замкнутости ортонормированных систем совпадают^[4].

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ была базисом, является равенство Парсеваля-Стеклова ${\displaystyle \sum _{i}|x,e_{i}|^{2}=||x||^{2}}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$. Выполнение условия полноты означает, что частичные суммы ${\displaystyle S_{n}(x)}$ ряда Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$ сходятся к функции ${\displaystyle f(x)}$ в среднем, т. е. по норме пространства ${\displaystyle L_{2}[a,b]}$^[4].

Полная ортогональная система называется ортогональным базисом. Соответственно определяется и ортонормированный базис^[5].

Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве

1. Каждая ортогональная система линейно независима.
2. Если координаты двух векторов ${\displaystyle x,y}$ заданы относительно ортонормированного базиса ${\displaystyle B}$: ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...x_{n})_{B}}$, ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},...y_{n})_{B}}$, то их скалярное произведение равно ${\displaystyle (x,y)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}}$.
3. Каждое евклидово векторное пространство конечной размерности имеет ортонормированный базис^[6].

Всё сказанное о евклидовом векторном пространстве остаётся справедливым и в том случае, если это пространство бесконечномерное. Наиболее важным обобщением понятия евклидова пространства является гильбертово пространство ${\displaystyle H}$, определяемое следующими свойствами:

1. ${\displaystyle H}$ — бесконечномерное векторное пространство.
2. Для векторов ${\displaystyle x,y\in H}$ определено скалярное произведение ${\displaystyle (x,y)}$, для которого справедливы свойства скалярного произведения евклидова пространства. Величина ${\displaystyle ||x||=(x,x)^{1/2}}$ называется нормой элемента ${\displaystyle x\in H}$.
3. Для любой последовательности векторов ${\displaystyle x_{n}\in H(n=1,2,...)}$, для которой ${\displaystyle \lim _{n,m\to \infty }||x_{n}-x_{m}||=0}$, существует вектор ${\displaystyle x\in H}$ такой, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }||x-x_{n}||=0}$ (свойство полноты)^[7].

Ортогональный базис является системой попарно ортогональных элементов ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n},...}$ гильбертова пространства ${\displaystyle X}$ такой, что любой элемент ${\displaystyle x\in X}$ однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда ${\displaystyle x=\sum _{i}c_{i}e_{i}}$, называемого рядом Фурье элемента ${\displaystyle x}$ по системе ${\displaystyle \{e_{i}\}}$.

Базис ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ выбирается так, что ${\displaystyle ||e_{i}||=1}$, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа ${\displaystyle C_{i}}$ называются коэффициентами Фурье элемента ${\displaystyle x}$ по ортонормированному базису ${\displaystyle \{e_{i}\}}$, имеют вид ${\displaystyle c_{i}=(x,e_{i})}$. Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис. Если задана произвольная система чисел ${\displaystyle \{c_{i}\}}$ такая, что ${\displaystyle \sum _{i}|c_{i}|^{2}<\infty }$, то в случае гильбертова пространства с базисом ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ряд ${\displaystyle \sum _{i}c_{i}e_{i}}$ сходится по норме к некоторому элементу ${\displaystyle x\in X}$. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству ${\displaystyle l_{2}}$ (теорема Рисса — Фишера)^[8].