Theorema Egregium

Theorema Egregium (в переводе с латыни «замечательная теорема») — исторически важный результат в дифференциальной геометрии, доказанный Гауссом. В современной формулировке теорема утверждает следующее:

Гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности. Иными словами, гауссова кривизна может быть определена исключительно путём измерения углов, расстояний внутри самой поверхности и не зависит от конкретной её реализации в трёхмерном евклидовом пространстве.

Существует явная формула, выражающая гауссову кривизну через первую квадратичную форму, именно, через её коэффициенты и их частные производные первого и второго порядков. Это так называемая формула Бриоски^[1].

В некоторых частных случаях, например в полугеодезических координатах, то есть в локальных координатах с первой квадратичной формой вида

${\displaystyle du^{2}+b(u,v)dv^{2}}$

гауссовова кривизна выражается более простой формулой

${\displaystyle K=-{\tfrac {1}{b}}\cdot {\tfrac {\partial ^{2}}{\partial u^{2}}}b.}$

Для вывода теоремы этого достаточно.

Теорема следует из формулы Гаусса — Бонне, если применить её к малым геодезическим треугольникам. Однако обычно выражение для гауссововой кривизны доказывается до формулы Гаусса — Бонне.