Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух векторов по переменных компонент в каждом, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных компонент каждого вектора.
Билинейная форма называется симметричной, если для любых векторов .
Билинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых векторов .
Вектор называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству относительно , если для всех . Совокупность векторов , ортогональных подпространству относительно данной билинейной формы , называется ортогональным дополнением подпространства относительно и обозначается .
Радикалом билинейной формы называется ортогональное дополнение самого пространства относительно , то есть совокупность векторов , для которых при всех .
Множество всех билинейных форм , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
При выбранном базисе в любая билинейная форма однозначно определяется матрицей
так что для любых векторов и
то есть
Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
Размерность пространства есть .
Несмотря на то, что матрица билинейной формы зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы . Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен .
Для любого подпространства ортогональное дополнение является подпространством .
, где — ранг билинейной формы .
Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса[править | править код]
Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.
Иными словами, если координаты вектора в старом базисе выражаются через координаты в новом через матрицу , или в матричной записи , то билинейная форма на любых векторах и запишется, как
,
то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:
,
или, в матричной записи:
,
, где — матрица прямого преобразования координат .
Связь с тензорными произведениями и функтором Hom[править | править код]
Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряжёнными, , то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из в двойственное пространство. Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как