Билинейная форма

В случае конечномерных пространств (например, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) чаще используется другое определение.

Пусть ${\displaystyle L}$ есть множество векторов вида ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ где ${\displaystyle x_{i}\in K,i={\overline {1,n}}}$.

Билинейными формами называются функции ${\displaystyle F\colon L\times L\to K}$ вида

${\displaystyle F(x,y)=\sum _{i,\,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j},}$

где ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),}$ а ${\displaystyle a_{ij}}$ — некоторые константы из поля ${\displaystyle K.}$

Иными словами, билинейная форма — это функция от двух векторов, которая является однородным многочленом первой степени по переменным компонент первого вектора и однородным многочленом первой степени по переменным компонент второго вектора^[2].

• Билинейная форма ${\displaystyle F}$ называется симметричной, если ${\displaystyle F(x,\,y)=F(y,\,x)}$ для любых векторов ${\displaystyle x,y\in L}$.
• Билинейная форма ${\displaystyle F}$ называется кососимметричной (антисимметричной), если ${\displaystyle F(x,\,y)=-F(y,\,x)}$ для любых векторов ${\displaystyle x,y\in L}$.

Сравнение симметричных и кососимметричных билинейных форм

Тип формы	Условие	Пример матрицы (в базисе)
Симметричная	${\displaystyle F(x,y)=F(y,x)}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}}$
Кососимметричная	${\displaystyle F(x,y)=-F(y,x)}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

• Вектор ${\displaystyle x\in L}$ называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству ${\displaystyle M\subset L}$ относительно ${\displaystyle F}$, если ${\displaystyle F(x,\,y)=0}$ для всех ${\displaystyle y\in M}$. Совокупность векторов ${\displaystyle x\in L}$, ортогональных подпространству ${\displaystyle M\subset L}$ относительно данной билинейной формы ${\displaystyle F}$, называется ортогональным дополнением подпространства ${\displaystyle M\subset L}$ относительно ${\displaystyle F}$ и обозначается ${\displaystyle M^{\perp }}$.
• Радикалом билинейной формы ${\displaystyle F}$ называется ортогональное дополнение самого пространства ${\displaystyle L}$ относительно ${\displaystyle F}$, то есть совокупность ${\displaystyle L^{\perp }}$ векторов ${\displaystyle x\in L}$, для которых ${\displaystyle F(x,\,y)=0}$ при всех ${\displaystyle y\in L}$.

• Множество всех билинейных форм ${\displaystyle W(L,L)}$, заданных на произвольном фиксированном линейном пространстве ${\displaystyle L}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$, само является линейным пространством над тем же полем^[3].

Операции сложения элементов и умножения на скаляр определяются поточечно:
${\displaystyle (f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y),}$
${\displaystyle (\alpha f)(x,y)=\alpha f(x,y),}$
где ${\displaystyle f,g\in W(L,L)}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$ и ${\displaystyle x,y\in L}$.

• Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм. Это разложение единственно и задаётся формулой:

${\displaystyle F(x,y)={\frac {F(x,y)+F(y,x)}{2}}+{\frac {F(x,y)-F(y,x)}{2}},}$ где первое слагаемое симметрично, а второе — кососимметрично^[4].

• При выбранном базисе ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ в ${\displaystyle L}$ любая билинейная форма ${\displaystyle F}$ однозначно определяется матрицей

${\displaystyle {\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}},}$

так что для любых векторов ${\displaystyle x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}}$ и ${\displaystyle y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}}$

${\displaystyle F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},}$

то есть

${\displaystyle F(x,\,y)=\sum _{i,j=1}^{n}f_{ij}\,x^{i}y^{j},\ \quad f_{ij}=F(e_{i},\,e_{j}).}$

• Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
• Размерность пространства ${\displaystyle W(L,L)}$ равна ${\displaystyle (\dim L)^{2}}$, так как в фиксированном базисе каждая билинейная форма однозначно задаётся матрицей размера ${\displaystyle n\times n}$, элементы которой выбираются произвольно^[5].
• Несмотря на то, что матрица билинейной формы ${\displaystyle F}$ зависит от выбора базиса, её ранг (как ранг этой матрицы) в любом базисе один и тот же; он называется рангом билинейной формы ${\displaystyle F}$. Это следует из формулы преобразования матрицы при замене базиса: умножение на невырожденные матрицы ${\displaystyle C^{T}}$ и ${\displaystyle C}$ не меняет ранга. Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен ${\displaystyle \dim L}$^[6].
• Для любого подпространства ${\displaystyle M\subset L}$ ортогональное дополнение ${\displaystyle M^{\perp }}$ является подпространством ${\displaystyle M^{\perp }\subset L}$.
• ${\displaystyle \dim L^{\perp }=\dim L-r}$, где ${\displaystyle r}$ — ранг билинейной формы ${\displaystyle F}$.

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (эту матрицу иногда называют матрицей Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе ${\displaystyle X^{i}}$ выражаются через координаты в новом ${\displaystyle x^{i}}$ через матрицу ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j}}$, или в матричной записи ${\displaystyle X=\beta x}$, то билинейная форма ${\displaystyle F}$ на любых векторах ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ запишется как

${\displaystyle F(x,\,y)=\sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=\sum _{i,j,k,m}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}}$,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

${\displaystyle f_{km}=\sum _{i,j}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}}$,

или, в матричной записи:

${\displaystyle f=\beta ^{T}F\beta }$,

${\displaystyle \beta =\alpha ^{-1}}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — матрица прямого преобразования координат ${\displaystyle x=\alpha X}$.

Билинейные формы естественно интерпретируются как тензоры типа (0,2), что позволяет использовать аппарат тензорной алгебры для их изучения^[7].

Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством ${\displaystyle {\text{Hom}}(V\otimes V,k)}$, где k — основное поле.

Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom (где Hom(V, W) обозначает пространство всех линейных отображений из V в W) являются сопряжёнными, ${\displaystyle {\text{Hom}}(V\otimes V,k)\cong {\text{Hom}}(V,{\text{Hom}}(V,k))}$, то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из ${\displaystyle V}$ в двойственное пространство ${\displaystyle V^{*}}$.

Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как

${\displaystyle B_{1}({\mathsf {v}})=B({\mathsf {v}},\cdot )}$

${\displaystyle B_{2}({\mathsf {v}})=B(\cdot ,{\mathsf {v}})}$.