Теорема Жордана

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году^[2]. Однако Томас Хейлс пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных^[3].

Любая замкнутая кривая Жордана ${\displaystyle \gamma }$ на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ разбивает её на две компоненты и является их общей границей^[4].

Из двух таких компонент ровно одна является ограниченной. Ограниченная компонента называется внутренней частью кривой ${\displaystyle \gamma }$, а неограниченная — внешней.

Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах порядка точки относительно кривой. А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой ${\displaystyle \gamma }$ равен ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$, совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен ${\displaystyle 0}$, совпадает с внешней часть.

Согласно, теореме Шёнфлиса, внутренняя часть кривой ${\displaystyle \gamma }$ гомеоморфна кругу^[4].

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

• Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил Айзик Исаакович Вольперт^[5].
• Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем^[6].

• Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое ${\displaystyle (n-1)}$-мерное подмногообразие в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При ${\displaystyle n=3}$ это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего ${\displaystyle n}$-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.^[4]

• Более того, любое компактное связное ${\displaystyle (n-1)}$-мерное подмногообразие в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера.

• Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
  • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
  • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.