Десятиугольник

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}t^{2}\ ctg{\frac {\pi }{10}}={\frac {5t^{2}}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\approx 7.694208842938134t^{2}.}$

Альтернативная формула ${\displaystyle A=2.5dt}$, где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

${\displaystyle d=2t\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}$

и может быть представлен в радикалах как

${\displaystyle d=t{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}$

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}={\tfrac {1}{\varphi }}}$, где ${\displaystyle \varphi }$ - золотое сечение.

Радиус описанной окружности десятиугольника равен

${\displaystyle R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t,}$

а радиус вписанной окружности

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}t.}$

По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку. На диаграмме показано одно из таких построений. Иначе его можно построить следующим образом:

1. Построить сначала правильный пятиугольник.
2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный ${\displaystyle 2m}$-угольник (в общем случае - ${\displaystyle 2m}$-угольный зоногон) можно разбить на ${\displaystyle {\frac {m(m-1)}{2}}}$ ромбов. Для декагона ${\displaystyle m=5}$, так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Правильные пространственные десятиугольники
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
Пятиугольная антипризма	Пентаграммная антипризма	Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник — это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D_5d [2⁺,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников
Додекаэдр	Икосаэдр	Икосододекаэдр	Ромботриаконтаэдр

Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.

A9	D6		B5
9-симплекс	411	131	5-ортоплекс	5-куб