Шестнадцатиугольник

Площадь правильного шестнадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

${\displaystyle S=4a^{2}\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\right)=4a^{2}\cdot \operatorname {ctg} ({\tfrac {\pi }{16}})\approx 20,109358\,a^{2}}$

Или, при радиусе описанной окружности R:

${\displaystyle S=4R^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}=8R^{2}\cdot \sin({\tfrac {\pi }{8}})\approx 3,061467\,R^{2}}$

Или, при радиусе вписанной окружности r:

${\displaystyle S=16r^{2}\cdot \operatorname {tg} ({\tfrac {\pi }{16}})\approx 3,182598\,r^{2}}$

Центральный угол правильного шестнадцатиугольника равен 22°30′.

Поскольку 16 ― это степень двойки, правильный шестнадцатиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля:^[1]

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный ${\displaystyle 2m}$-угольник (в общем случае - ${\displaystyle 2m}$-угольный зоногон) можно разбить на ${\displaystyle {\frac {m(m-1)}{2}}}$ ромбов. Для шестнадцатиугольника ${\displaystyle m=8}$, так что он может быть разбит на 28 ромбов.

Разбиение правильного шестнадцатиугольника

Неправильным шестнадцатиугольником является октаграмма:

В начале XVI века Рафаэль Санти впервые построил перспективное изображение правильного шестнадцатиугольника: башня на его картине «Обручение Девы Марии» имеет 16 сторон.^[2]