Модели локальной волатильности

В математических финансах предполагается, что в рамках риск-нейтральной меры базовый актив, лежащий в основе производного финансового инструмента, подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ) вида:

${\displaystyle dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma _{t}S_{t}\,dW_{t}}$,

где ${\displaystyle r_{t}}$ обозначает мгновенную безрисковую ставку дохода, определяющую среднее направление динамики, а ${\displaystyle W_{t}}$ — винеровский процесс, который привносит случайность в эту динамику. Амплитуда данной случайности измеряется мгновенной волатильностью ${\displaystyle \sigma _{t}}$. В простейшей модели, известной как модель Блэка — Шоулза, ${\displaystyle \sigma _{t}}$ считается постоянной величиной или, в крайнем случае, заранее заданной функцией времени. В действительности же реальная волатильность актива изменяется как со временем, так и с уровнем самого актива.

Когда такая волатильность обладает собственной случайностью, зачастую описываемой иным уравнением, зависящим от второго винеровского процесса ${\displaystyle W}$, такую модель называют моделью стохастической волатильности. Если же волатильность является лишь функцией текущего уровня актива ${\displaystyle S_{t}}$ и времени ${\displaystyle t}$, мы имеем дело с моделью локальной волатильности. Модель локальной волатильности служит полезным упрощением модели стохастической волатильности.

Термином «локальная волатильность» обозначается совокупность коэффициентов диффузии ${\displaystyle \sigma _{t}=\sigma (S_{t},t)}$, согласующихся с рыночными ценами всех опционов на заданный базовый актив, формирующих модель цены актива следующего типа:

${\displaystyle dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma (S_{t},t)S_{t}\,dW_{t}.}$

Данная модель используется для расчёта цен экзотических опционов, совместимых с наблюдаемыми ценами стандартных (ванильных) опционов^[2].

Идея локальной волатильности, полностью соответствующей рынкам опционов, возникла благодаря наблюдениям специалистов в области математических методов финансового анализа и оценки рисков Бруно Дюпира (англ. Bruno Dupire)^[3], Эмануэля Дермана и Ираджа Кани (англ. Iraj Kani)^[4], которые заметили, что существует уникальный диффузионный процесс, соответствующий нейтральным по риску плотностям распределения, выводимым из рыночных цен европейских опционов. Дерман и Кани предложили и применили функцию локальной волатильности для моделирования мгновенной волатильности. Они использовали эту функцию на каждом узле биномиальной модели ценообразования опционов. Полученное дерево успешно воспроизводило оценку опционов, соответствующую всем рыночным ценам вне зависимости от страйков и сроков экспираций^[4]. Так была сформулирована модель Дермана — Кани с дискретными временными интервалами и шагами изменения котировок акций. Позже Дерман и Кани совместно с математиком Нейлом Криссом (англ. Neil Chriss) расширили этот подход до триномиальной модели оценки опционов (модели, основанной на структуре триномиальных деревьев, построенных с использованием рыночной подразумеваемой волатильности для точного согласования с существующими ценами опционов). Тем не менее процесс подбора параметров биномиального дерева оказался численно нестабильным.

Основные уравнения непрерывного времени, используемые в моделях локальной волатильности, были разработаны Бруно Дюпиром^[3] в 1994 году. Уравнение Дюпира утверждаетː

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial T}}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(K,T;S_{0})K^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial K^{2}}}-(r-d)K{\frac {\partial C}{\partial K}}-dC}$.

Для нахождения частных производных существует несколько известных способов параметризации поверхности подразумеваемой волатильности, основанных на модели Хестона: параметризация Шёнбухера (англ. Shönbucher), SVI (англ. Stochastic Volatility Inspired) и её обобщённая версия gSVI (англ. generalized SVI (gSVI)). Подробнее они рассмотрены в статье Подразумеваемая волатильность § Непостоянство подразумеваемой волатильности (поверхность волатильности). Среди прочих подходов выделяют использование смеси логнормальных распределений и методы стохастической коллокации^[5].

Пусть динамика цены актива ​${\displaystyle S_{t}}$ описывается риск-нейтральным стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ):

${\displaystyle dS_{t}=(r-d)S_{t}dt+\sigma (t,S_{t})S_{t}dW_{t}}$.

Переходная вероятность ${\displaystyle p(t,S_{t})}$, условная относительно начального состояния ${\displaystyle S_{0}}$​, удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова (также известному как уравнение Фоккера — Планка):

${\displaystyle p_{t}=-[(r-d)s\,p]_{s}+{\frac {1}{2}}[(\sigma s)^{2}p]_{ss},}$

где для краткости обозначены:

${\displaystyle f_{x}}$ — частная производная функции ${\displaystyle f}$ по переменной ${\displaystyle x}$,

${\displaystyle f_{xx}}$ — вторая частная производная функции ${\displaystyle f}$ по переменной ${\displaystyle x}$.

Следовательно, ${\displaystyle p_{t}}$ обозначает частную производную плотности вероятности ${\displaystyle p(t,S)}$ по переменной ${\displaystyle t}$, а запись ${\displaystyle [(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$ обозначает вторую производную функции ${\displaystyle (\sigma (t,S)S)^{2}p(t,S)}$ по переменной ${\displaystyle S}$. Далее символом ${\displaystyle p}$ будем обозначать саму плотность вероятности ${\displaystyle p(t,S)}$. Внутри интеграла эта функция будет обозначаться как ${\displaystyle p(t,s)}$.

Из-за теоремы мартигаловского ценообразования (согласно которой в отсутствие арбитража справедливая цена производного инструмента равна среднему значению выплат, взвешенному по вероятностной мере, при которой эволюция базового актива становится мартингалом) стоимость европейского колл-опциона с датой истечения ${\displaystyle T}$ и ценой исполнения ${\displaystyle K}$ равна:

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}[(S_{T}-K)^{+}]\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)\,p\,ds\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds-K\,e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\,ds\end{aligned}}}$.

Дифференцируя стоимость колл-опциона по цене исполнения ${\displaystyle K}$, получаем:

${\displaystyle C_{K}=-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\;ds}$.

Подставляя это выражение обратно в формулу стоимости опциона и перегруппировывая члены, приходим к следующему выражениюː

${\displaystyle e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds=C-K\,C_{K}}$.

Дифференцируя дважды стоимость колл-опциона по цене исполнения ${\displaystyle K}$, получаем:

${\displaystyle C_{KK}=e^{-rT}p}$.

Дифференцируя стоимость колл-опциона по сроку истечения ${\displaystyle T}$, получаем:

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)p_{T}ds}$.

Используя прямое уравнение Колмогорова, получаем:

${\displaystyle C_{T}=-r\,C-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)[(r-d)s\,p]_{s}\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)[(\sigma s)^{2}\,p]_{ss}\,ds}$.

Интегрируем первый интеграл однократно, второй — двукратно методом интегрирования по частямː

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+(r-d)e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}(\sigma K)^{2}\,p}$.

Используя выведенные ранее формулы, найденные путём дифференцирования стоимости колл-опциона по цене исполнения ${\displaystyle K}$, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{T}&=-r\,C+(r-d)(C-K\,C_{K})+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\\&=-(r-d)K\,C_{K}-d\,C+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\end{aligned}}}$.

Подход Дюпира непараметрический и требует предварительной интерполяции данных для получения непрерывного спектра торговых цен, а также выбора типа интерполяции^[3]. Альтернативой этому является разработка параметрических моделей локальной волатильности. Ниже приведены некоторые примеры таких моделей.

Модель Башелье (англ. Bachelier model) вдохновлена работами Луи Башелье, опубликованными в 1900 году. Хотя изначально она предназначалась для активов с нулевым дрейфом (в контексте финансовых моделей это понятие означает, что ожидаемое среднее изменение цены актива, например, процентной ставки или форвардной цены, равно нулю), модель может рассматриваться как частный случай локальной волатильности. Согласно модели Башелье, изменение актива ${\displaystyle F_{t}}$​ описывается простым стохастическим дифференциальным уравнением:

${\displaystyle dF_{t}=v\,dW_{t}}$,

где ${\displaystyle v}$ — постоянный коэффициент диффузии. Отсюда локальная волатильность ${\displaystyle \sigma (F_{t},t)}$ связана с активом следующим образом:

${\displaystyle \sigma (F_{t},t)F_{t}=v}$.

Отсюда следует, что локальная волатильность равна:

${\displaystyle \sigma (F_{t},t)=v/F_{t}}$.

В связи с тем, что в некоторых экономиках процентные ставки стали отрицательными^[6], модель Башелье вновь привлекла внимание. Благодаря свойствам гауссовского распределения, лежащим в её основе, данная модель позволяет корректно моделировать отрицательные форвардные ставки ${\displaystyle F}$.

Модель смещённой диффузии (англ. displaced diffusion model) была введена американским экономистом Марком Рубинштейном (англ. Mark Rubinstein)^[7]. Для описания динамики курса акции она принимает вид:

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma (S_{t}-\beta e^{rt})\,dW_{t}}$,

где для простоты предполагается, что дивидендная доходность отсутствует. Чтобы вывести данную модель из классической модели Блэка — Шоулза, введём замену переменной следующим образом:

${\displaystyle Y_{t}=S_{t}-\beta e^{rt}}$,

после чего немедленно обнаруживаем, что новый процесс ${\displaystyle Y}$ подчиняется обычной модели Блэка — Шоулза:

${\displaystyle dY_{t}=rY_{t}\,dt+\sigma Y_{t}\,dW_{t}}$.

Так как стохастическое дифференциальное уравнение для ${\displaystyle Y}$ представляет собой геометрическое броуновское движение, оно имеет логнормальное распределение. Поскольку ${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$, модель также известна как смещённая логнормальная модель, при этом смещение в момент времени ${\displaystyle t}$ составляет величину ${\displaystyle \beta e^{rt}}$. Чтобы оценить европейский колл-опцион с ценой исполнения ${\displaystyle K}$ на актив ${\displaystyle S}$, достаточно выразить платёж как:

${\displaystyle (S_{T}-K)^{+}=(Y_{T}+\beta e^{rT}-K)^{+}=(Y_{T}-H)^{+}}$,

где ${\displaystyle H=K-\beta e^{rT}}$ — новая цена исполнения. Так как ${\displaystyle Y}$ следует модели Блэка — Шоулза, цена опциона легко вычисляется как цена Блэка — Шоулза с модифицированной ценой исполнения.

Модель порождает монотонную кривую улыбки волатильности, форма которой снижается при отрицательных значениях ${\displaystyle \beta }$^[8]. Дополнительно, при отрицательном ${\displaystyle \beta }$ из соотношения ${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$следует, что актив ${\displaystyle S}$ может принимать отрицательные значения с положительной вероятностью. Это особенно полезно, например, при моделировании процентных ставок в условиях, когда отрицательные ставки затрагивают ряд национальных экономик^[6].

Модель постоянной эластичности дисперсии (англ. constant elasticity of variance model (CEV)) — модель локальной волатильности, в которой динамика цены актива ${\displaystyle S_{t}}$ в условиях отсутствия дивидендов и риск-нейтрального измерения задаётся следующим образом^[9]:

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=rS_{t}\mathrm {d} t+\sigma S_{t}^{\gamma }\mathrm {d} W_{t},}$

где ${\displaystyle r}$ — постоянная процентная ставка, ${\displaystyle \sigma >0}$ — положительный постоянный коэффициент волатильности, а показатель степени ${\displaystyle \gamma \geq 0}$ контролирует эластичность дисперсии. В этом случае функция волатильности определяется как:

${\displaystyle \sigma (S_{t},t)=\sigma S_{t}^{\gamma -1}}$.

Иногда данную модель классифицируют как модель стохастической волатильности, хотя согласно приведённому выше определению это всё-таки модель локальной волатильности, поскольку в коэффициенте диффузии не появляется дополнительный источник риска.

Модель динамики логнормальных смесей (англ. the lognormal mixture dynamics model) разрабатывалась с 1998 по 2021 год в нескольких вариантах усилиями итальянских специалистов в области эконометрики и финансовой математики Дамиано Бриго (англ. Damiano Brigo), Фабио Меркурио (англ. Fabio Mercurio) и их соавторов. Британский учёный — финансист Кароль Александр изучала кратковременные и долговременные эффекты формы улыбки волатильности^[10]. Отправной точкой служила базовая формула Блэка — Шоулза, следующая из риск-нейтральной динамикиː

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}$

где ${\displaystyle \sigma }$ — постоянная детерминированная волатильность, а ${\displaystyle p_{t,\sigma }^{lognormal}}$ обозначает логнормальную плотность вероятности. В модели Блэка — Шоулза цена европейского опциона, не зависящего от траектории, вычисляется путём интегрирования выплаты опциона по логнормальной плотности на момент погашения.

Главная идея модели динамики смеси логнормальных распределений^[11] заключается в том, чтобы рассматривать логнормальные плотности, подобные используемым в модели Блэка — Шоулза, но для ограниченного числа ${\displaystyle N}$ возможных постоянных детерминированных волатильностей ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$​, где каждая ${\displaystyle p_{i,t}=p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}}$обозначает логнормальную плотность модели Блэка — Шоулза с волатильностью ${\displaystyle \sigma _{i}}$. При моделировании динамики цены акции Бриго и Меркурио^[12] построили модель локальной волатильности:

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma _{mix}(t,S_{t})S_{t}\ dW_{t},}$

где ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,S_{t})}$ выбрана так, чтобы риск-нейтральное распределение ${\displaystyle S_{t}}$​ оказалось смесью логнормальных плотностей ${\displaystyle p_{i,t}}$. Таким образом, итоговая плотность цены актива выражается как:

${\displaystyle p_{S_{t}}(y)=:p_{t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}(y)}$,

где ${\displaystyle \lambda _{i}\in (0,1)}$ — веса компонентов смеси, удовлетворяющие условию ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}=1}$. Эти веса ${\displaystyle \lambda _{i}}$ показывают относительный вклад каждой логнормальной плотности ​${\displaystyle p_{i,t}}$ в итоговую смесь. Мгновенная волатильность определяется какː

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {1}{\sum _{j}\lambda _{j}p_{j,t}(y)}}\sum _{i}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}p_{i,t}(y),}$ или, раскрывая детальнее:

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}\ {\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{i}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{i}^{2}t\right]^{2}\right\}}{\sum _{j=1}^{N}\lambda _{j}{\frac {1}{\sigma _{j}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{j}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{j}^{2}t\right]^{2}\right\}}}}$

для ${\displaystyle (t,y)>(0,0)}$; при ${\displaystyle (t,y)=(0,s_{0}),}$ полагаем, что ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)=\sigma _{0}}$.

Исходная модель включает регуляризацию коэффициента диффузии (функции, определяющей амплитуду случайных колебаний цены актива в данный момент времени) в небольшом начальном интервале времени ${\displaystyle [0,\epsilon ]}$^[12]. Благодаря такому регулированию, стохастическое дифференциальное уравнение с ${\displaystyle \sigma _{mix}}$ имеет единственное сильное решение, чья маргинальная плотность совпадает с нужной смесью плотностей ${\displaystyle p_{S_{t}}=\sum _{i}\lambda _{i}p_{i,t}.}$

Можно также записатьː

${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)=\sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)\sigma _{i}^{2},}$ где ${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)\in (0,1)}$ и ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)=1}$.

Это показывает, что ${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)}$ является средневзвешенным величин ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ с весами ${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)={\frac {\lambda _{i}\ p_{i,t}(y)}{\sum _{j}\lambda _{j}\ p_{j,t}(y)}}.}$

Цена опциона в этой модели проста в вычислении. Если ${\displaystyle \mathbb {E} ^{Q}}$ обозначает риск-нейтральное ожидание, то, согласно теореме о ценообразовании мартингалов, цена колл-опциона на ${\displaystyle S}$ с ценой исполнения ${\displaystyle K}$ и сроком погашения ${\displaystyle T}$ задаётся формулойː

${\displaystyle V_{mix}^{Call}(K,T)=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}\left\{(S_{T}-K)^{+}\right\}}$ ${\displaystyle =e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}p_{S_{T}}(y)dy=e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,T}(y)dy}$ ${\displaystyle =\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}e^{-rT}\int (y-K)^{+}p_{i,T}(y)dy=\sum _{{i=1}^{N}}{\lambda _{i}}V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$,

где ${\displaystyle V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$ — соответствующая цена колл-опциона в модели Блэка — Шоулза с волатильностью ${\displaystyle \sigma _{i}}$.

Цена опциона даётся замкнутой формулой и представляет собой линейную выпуклую комбинацию цен колл-опционов Блэка — Шоулза с волатильностями ​${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$, взвешенными коэффициентами ​${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$. То же самое справедливо и для пут-опционов, а также для всех других производных инструментов. Аналогичная выпуклая комбинация применяется и к некоторым грекам опционов, таким как Дельта, Гамма, Ро и Тета. Модель динамики смеси является гибкой, поскольку количество компонентов ${\displaystyle N}$ можно выбирать в соответствии со сложностью рыночной улыбки волатильности. Оптимизация параметров ${\displaystyle \sigma _{i}}$ и ${\displaystyle \lambda _{i}}$​, а также возможного сдвига позволяет воспроизвести большинство существующих рыночных улыбок. Модель нашла успешное применение на рынках акций^[11], валюты^[13] и процентных ставок^[8][14].

В модели динамики смесей можно показать, что результирующая кривая улыбки волатильности будет иметь минимум при цене исполнения ${\displaystyle K}$, равной форвардной цене на деньгах ${\displaystyle S_{0}e^{rT}}$. Данную ограниченную гибкость можно преодолеть, сделав улыбку более универсальной путём объединения идей динамики смесей и смещённой диффузии, что приводит к модели динамики смещённых логнормальных смесей^[11].

Чтобы настроить срочную структуру улыбки, модель также использовалась с волатильностями ${\displaystyle \sigma _{i}}$​, зависящими от времени^[11]. Было изучено расширение модели^[14], в котором разные компоненты смеси имеют различные средние значения, при сохранении финального безарбитражного дрейфа в динамике. Дальнейшее расширение заключалось в применении модели к многомерному случаю, в рамках которого была разработана соответствующая модель, которая согласуется со смесью многофакторных логнормальных плотностей (возможно, со сдвигами) и в которой отдельные активы также распределены как смеси^[15]. Это позволяет согласовать моделирование улыбок отдельных активов с улыбкой индекса, состоящего из этих активов. Второе приложение данной многофакторной версии — треугольная оценка улыбок волатильности валютных курсов (англ. FX volatility smiles)^[13].

Наконец, модель связана с моделью неопределённости волатильности, где волатильность является случайной величиной, принимающей значения ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$​ с вероятностями ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$. С технической точки зрения можно показать, что динамика локальной волатильности логнормальных смесей является марковской проекцией модели неопределённой волатильности^[16].

Модели локальной волатильности полезны на рынке опционов^[17], где волатильность базового актива главным образом зависит от уровня самого актива (например, для производных инструментов, связанных с процентными ставками).

Считается, что временные инвариантные локальные волатильности (то есть волатильности, которые зависят только от текущей цены актива, но не меняются с течением времени) плохо соответствуют динамике поверхности подразумеваемой волатильности фондовых индексов^[18], однако Стефан Крепи (англ. Stephane Crepey)^[19], французский специалист в области количественных финансов и управления рисками, утверждает, что такие модели обеспечивают лучшую среднюю хеджирующую стратегию для опционов на фондовые индексы. При этом он отмечает, что модели, такие как модель динамики смесей, допускают зависимость локальной волатильности от времени, позволяя дополнительно калибровать срочную структуру улыбки. Также модели локальной волатильности полезны при формулировании моделей стохастической волатильности^[20].

Модели локальной волатильности обладают рядом привлекательных особенностей^[21][22]. Поскольку единственным источником случайности в таких моделях является цена актива, они легко калибруются. Разработаны многочисленные методы калибровки, включающие процессы МакКина — Власова (англ. McKean-Vlasov processes) — стохастические процессы, зависящие не только от своего текущего состояния, но и от поведения всей совокупности частиц в среднем, среди которых наибольшее распространение получили подходы на основе частиц и ячеек (англ. particle and bin approach)^[23]. Также модели приводят к полному рынку, где хеджирование может основываться исключительно на базовом активе.

Следует отметить, что общий непараметрический подход Дюпира проблематичен, так как перед применением метода требует произвольной предварительной интерполяции вводимой поверхности подразумеваемой волатильности. Альтернативой могут служить параметрические подходы с богатой и обоснованной параметризацией, как, например, представленные выше аналитически разрешимые модели локальной волатильности на основе динамики смесей.

Поскольку в моделях локальной волатильности волатильность является детерминированной функцией случайной цены актива, такие модели плохо подходят для оценки кликет-опционов или форвард-старт опционов, цены которых зависят непосредственно от случайной природы самой волатильности. В таких случаях предпочтительнее использовать модели стохастической волатильности.