Процентные кэпы и флоры

Процентный кэп или процентный потолок (с англ. — «ограничение сверху») — это соглашение, при котором покупатель получает платежи в конце каждого периода, когда процентная ставка превышает согласованную цену исполнения (страйк). Примером кэпа может служить соглашение о получении платежа за каждый месяц, в котором ставка LIBOR превышает 2,5 %.

Чаще всего такие соглашения заключаются на сроки от 2 до 5 лет, хотя временной диапазон может значительно варьироваться^[2]. Поскольку цена исполнения отражает максимальную процентную ставку, которую обязуется платить покупатель кэпа, она часто округляется до целых чисел, например, 5 % или 7 %^[2]. В качестве индекса, к которому привязан кэп, чаще всего выступает ставка LIBOR или национальная процентная ставка^[2].

Объём (покрытие) кэпа называется его номинальным профилем (англ. notional profile) и может меняться в течение срока действия контракта, например, отражая уменьшение суммы займа по амортизируемому кредиту^[2]. Оплата покупки кэпа представляет собой одноразовый платёж, известный как премия^[2].

Покупатель кэпа получает выгоду от роста процентных ставок выше цены исполнения, что делает этот инструмент популярным средством хеджирования рисков по займам с плавающей ставкой^[2].

Процентный кэп можно представить как серию европейских колл-опционов, известных как кэплеты (англ. caplets), которые существуют для каждого периода действия соглашения о кэпе. Для исполнения кэпа покупателю обычно не требуется уведомлять продавца, поскольку кэп будет исполнен автоматически, если процентная ставка превысит цену исполнения (ставку страйк)^[2]. Следует отметить, что автоматическое исполнение — отличительная черта кэпов по сравнению с большинством других типов опционов. Выплаты по каждому кэплету производятся в денежной форме в конце соответствующего периода^[2].

С математической точки зрения выплата по кэплету на ставку ${\displaystyle L}$ с ценой исполнения ${\displaystyle K}$ рассчитывается по формуле:

${\displaystyle N\cdot \alpha \cdot \max(L-K,0)}$,

где ${\displaystyle N}$ — номинальная стоимость (англ. notional value), на которую начисляются проценты, а ${\displaystyle \alpha }$ — дробь, отражающая отношение количества дней в периоде к количеству дней в году.

Например, предположим, что сейчас январь 2007 года и у вас есть кэплет на шестимесячную ставку LIBOR в долларах США с экспирацией 1 февраля 2007 года и страйком 2,5 % и с номинальной суммой 1 миллион долларов. Допустим, что 1 февраля ставка LIBOR установится на уровне 3 %. Тогда вы получите следующий платёж:

${\displaystyle \$1M\cdot 0.5\cdot \max(0.03-0.025,0)=\$2500}$

Обычно платёж совершается в конце периода действия ставки, в нашем примере — 1 августа 2007 года.

Процентный флор/флоор или процентный пол (с англ. — «ограничение снизу») представляет собой серию европейских пут-опционов, известных как флорлеты, на определённую на определённую базисную процентную ставку, обычно LIBOR. Покупатель флора получает денежные средства, если на дату экспирации любого из флорлетов базисная ставка оказывается ниже согласованной цены исполнения (страйка) флора.

Процентный коридор (англ. interest rate collar) — это одновременная покупка кэпа (процентного потолка) и продажа флора (процентного пола) на один и тот же базовый актив (процентную ставку), с одинаковым сроком и объёмом (номинальной суммой), причём:

• cтавка потолка устанавливается выше ставки пола;
• цель покупателя коридора — защититься от роста процентных ставок, соглашаясь на отказ от части потенциальной выгоды при их снижении;
• покупка потолка защищает от роста ставок, а продажа пола приносит доход от премии;
• коридор создаёт диапазон, в пределах которого будет колебаться эффективная процентная ставка покупателя.

Обратный процентный коридор (англ. reverse collar) — это одновременная покупка флора (процентного пола) и продажа кэпа (процентного потолка), причём:

• цель — защитить кредитора (например, банк) от падения процентных ставок;
• покупатель (в данном случае, кредитор) выбирает базовую ставку и устанавливает одинаковые срок действия и объёмы (номинальные суммы) для пола и потолка;
• покупатели могут создавать обратные коридоры с нулевой стоимостью, если им удаётся найти ставки пола и потолка с одинаковыми премиями.

Размер премий по кэпам и флорам зависит от множества факторов, которые перечислены ниже; при этом расчёт премии выполняется с помощью одного из нескольких подходов^[3].

• Взаимосвязь между ценой исполнения (страйком) и преобладающей трёхмесячной ставкой LIBOR: премии максимальны для опционов, находящихся в деньгах (англ. in-the-money), и уменьшаются для опционов на деньгах (англ. at-the-money) или без денег (англ. out-of-the-money).
• Взаимосвязь со сроком действия:
  • премии растут с увеличением срока;
  • продавец опциона должен получить бо́льшую компенсацию за обязательство зафиксировать ставку на длительный период времени.
• Преобладающие экономические условия, форма кривой доходности и волатильность процентных ставок:
  • при восходящей кривой доходности кэпы будут дороже, чем флоры;
  • чем круче наклон кривой доходности (при прочих равных условиях), тем выше премии по кэпам;
  • премии по флорам демонстрируют обратную зависимость.

Самая простая и распространённая модель оценки стоимости процентных кэплетов — это модель Блэка^[4]. В рамках этой модели предполагается, что базовая процентная ставка распределена логнормально с волатильностью ${\displaystyle \sigma }$. Согласно данной модели, приведённая стоимость (${\displaystyle PV}$) кэплета на ставку LIBOR с экспирацией в момент времени ${\displaystyle t}$ и выплатой в момент ${\displaystyle T}$ рассчитывается по формуле:

${\displaystyle V=P(0,T)\left(FN(d_{1})-KN(d_{2})\right),}$

где

${\displaystyle P(0,T)}$ — текущий дисконт-фактор для момента времени ${\displaystyle T}$,

${\displaystyle F}$ — форвардная цена ставки. Для ставок LIBOR эта величина равна ${\displaystyle {1 \over \alpha }\left({\frac {P(0,t)}{P(0,T)}}-1\right)}$,

${\displaystyle K}$ — страйк (цена исполнения),

${\displaystyle N}$ — кумулятивная функция стандартного нормального распределения (англ. Cumulative Distribution Function (CDF)),

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+0.5\sigma ^{2}t}{\sigma {\sqrt {t}}}}}$

и

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {t}}}$

Заметим, что существует однозначное соответствие между волатильностью и приведённой стоимостью опциона. Поскольку все остальные параметры, используемые в уравнении, являются общепринятыми и не вызывают разногласий, цену кэплета можно однозначно выразить, просто указав его волатильность. Именно так происходит на рынке: эта волатильность известна как волатильность Блэка (англ. Black volatility) или подразумеваемая волатильность (англ. implied volatility).

Во ходе реализации политики количественного смягчения в ряде стран возникла реальная возможность существования отрицательных процентных ставок, что сделало классическую модель Блэка устаревшей, поскольку она изначально предполагала нулевую вероятность отрицательных значений ставок^[5]. Это привело к появлению ряда альтернативных подходов к оценке стоимости финансовых инструментов, среди которых выделяются:

• сдвиг логнормального распределения (англ. Shifted Log-Normal model);
• использование нормального распределения (англ. Normal model);
• применение методов, основанных на функционалах Маркова.

Несмотря на предложенные подходы, единый новый стандарт, заменяющий модель Блэка, пока не утвердился.

Можно показать, что кэп на ставку LIBOR с периодом от ${\displaystyle t}$ до ${\displaystyle T}$ эквивалентен портфелю из пут-опционов, срок экспирации которых наступает в момент времени t, а базовым активом выступают облигации со сроком погашения ${\displaystyle T}$. Таким образом, если у нас есть модель процентной ставки, которая позволяет оценивать пут-опционы на облигации, мы также можем оценить и процентные кэпы. Аналогичным образом, флор эквивалентен портфелю из колл-опционов на облигации^[6].

Некоторые популярные модели краткосрочных ставок, например, модель Халла-Уайта, достаточно гибки для такого анализа, что позволяет оценивать кэпы и флоры в рамках этих моделей.

Кэплеты, привязанные к специфическим базовым ставкам (например, к ставке свопа постоянного срока погашения (англ. Constant Maturity Swap Rate) или CMS-ставке), нельзя оценить простыми аналитическими методами, описанными ранее. Это связано с тем, что CMS-ставки имеют более сложную динамику и требуют учёта поправки на выпуклость.

Методология оценки своп-кэпов и своп-флоров постоянной срочности подробно изложена в специализированных научных статьях и публикациях, где рассматриваются более сложные подходы, такие как модели рынка LIBOR со стохастической волатильностью или методы репликации с использованием портфеля ванильных опционов на свопы (свопционов)^[6].

• Одним из ключевых моментов при оценке производных инструментов является учёт волатильности кэпов и флоров (так называемой волатильности Блэка)^[7]. Кэпы состоят из набора кэплетов, каждый из которых имеет собственную волатильность, зависящую от соответствующей форвардной ставки LIBOR. Тем не менее, кэпы также могут быть представлены плоской волатильностью — единым числовым значением. Если подставить это значение в формулу оценки каждого кэплета, то общая цена всего кэпа (итоговая сумма кэплетов) останется неизменной. Проиллюстрируем это примером перехода от волатильностей отдельных кэплетов к плоской волатильности: волатильность Блэка → плоская волатильность: (15 %, 20 %, …, 12 %) → (16,5 %, 16,5 %, …, 16,5 %).
  • Следовательно, целый кэп можно оценить на основе всего одной волатильности. Это весьма полезно для участников рынка, так как существенно снижает сложность задачи: вместо слежения за множеством индивидуальных волатильностей кэплетов достаточно отслеживать одну величину — плоскую волатильность.
• Существует ещё одно важное соотношение: если фиксированная ставка свопа равна цене исполнения (страйку) кэпов и флоров, то действует следующее правило паритета пут-колл: Кэп — Флор = Своп.
• Кэпы и флоры с одинаковой ценой исполнения имеют и одинаковую подразумеваемую волатильность.
  • Представьте ситуацию: мы имеем портфель, состоящий из длинной позиции по кэпу с волатильностью 20 % и короткой позиции по флору с волатильностью 30 %. В таком сочетании образуется своп с нулевой волатильностью. Теперь поменяем волатильности местами. Цена кэпа вырастет, цена флора упадёт, но итоговая цена свопа остаётся неизменной. Следовательно, если у кэпа волатильность равна x, то волатильность флора обязана быть равна x, иначе возникает возможность арбитража.
• Предполагая, что процентные ставки не могут быть отрицательными, кэп со страйком 0 % равен по цене плавающей части процентного свопа (подобно тому, как колл-опцион со страйком 0 эквивалентен владению акцией), независимо от волатильности кэпа.