Ретроспективный опцион

Как следует из названия, цена исполнения такого опциона является плавающей и определяется лишь на момент экспирации. Плавающая цена исполнения представляет собой оптимальное значение стоимости базового актива в течение срока действия опциона. Выплата рассчитывается как максимальная разница между рыночной стоимостью актива на момент экспирации и плавающей ценой исполнения. Для колл-опциона цена исполнения фиксируется на уровне минимальной цены актива в течение срока действия опциона, а для пут-опциона — на уровне максимальной цены актива за тот же период.

Важно отметить, что подобные инструменты фактически нельзя назвать классическими опционами, так как они будут обязательно реализованы своим владельцем. Дело в том, что опцион такого типа никогда не оказывается без денег (англ. out-of-the-money), что повышает его стоимость относительно стандартного аналога.

Формулы выплат для ретроспективного колл-опциона и ретроспективного пут-опциона соответственно выглядят следующим образом:

${\displaystyle LC_{float}=\max(S_{T}-S_{min},0)=S_{T}-S_{min},~~{\text{and}}~~LP_{float}=\max(S_{max}-S_{T},0)=S_{max}-S_{T},}$

где ${\displaystyle S_{max}}$ — максимальная цена актива за указанный период, ${\displaystyle S_{min}}$ — минимальная цена актива за указанный период, а ${\displaystyle S_{T}}$ — рыночная цена актива на момент экспирации ${\displaystyle T}$.

Как и для всех остальных стандартных европейских опционов, способ определения цены исполнения (страйк) установлен заранее и не меняется в течение всего срока действия опциона. Разница заключается в том, что исполнение опциона не учитывает цену базового актива на дату экспирации, а исходит из величины максимальной разницы между оптимальной ценой базового актива и установленной ценой исполнения (страйком). В случае колл-опциона владелец выбирает исполнение в момент, когда цена базового актива достигает максимального значения, а для пут-опциона будет выбрано исполнение по минимальной цене базового актива. Формулы для расчёта выплат по ретроспективному колл-опциону и ретроспективному пут-опциону соответственно выглядят следующим образом:

${\displaystyle LC_{fix}=\max(S_{max}-K,0),~~{\text{and}}~~LP_{fix}=\max(K-S_{min},0),}$

where ${\displaystyle S_{max}}$— максимальная цена актива за указанный период, ${\displaystyle S_{min}}$ — минимальная цена актива за указанный период, а ${\displaystyle K}$— страйк-цена.

Используя модель Блэка-Шоулза и принятые в ней обозначения, можно рассчитать цену европейского ретроспективного опциона с плавающим страйком. Метод оценки гораздо сложнее, чем для стандартных европейских опционов, и описан в работе финансовых математиков Марка Мусиела (англ. Mark Musiela) и Марека Рутковски (Marek Rutkowski)^[1].Предположим существование непрерывно начисляемой безрисковой процентной ставки ${\displaystyle r>0}$, а также постоянную волатильность акции ${\displaystyle \sigma >0}$.

Пусть срок до экспирации составляет ${\displaystyle T>0}$, и пусть мы оцениваем опцион в момент времени ${\displaystyle t<T}$, несмотря на то, что срок жизни опциона начался в нулевой момент времени. Обозначим оставшееся время до экспирации как ${\displaystyle \tau =T-t}$

Далее полагаем: ${\displaystyle M=\max _{0\leq u\leq t}S_{u},~~m=\min _{0\leq u\leq t}S_{u}{\text{ и }}S_{t}=S.}$

Тогда цена ретроспективного колл-опциона с плавающим страйком определяется следующей формулой:

${\displaystyle LC_{t}=S\Phi (a_{1}(S,m))-me^{-r\tau }\Phi (a_{2}(S,m))-{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (-a_{1}(S,m))-e^{-r\tau }(m/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (-a_{3}(S,m))),}$

где

${\displaystyle a_{1}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$

${\displaystyle a_{2}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle a_{3}(S,H)={\frac {\ln(S/H)-(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-{\frac {2r{\sqrt {\tau }}}{\sigma }},{\text{ with }}H>0,S>0,}$

и где ${\displaystyle \Phi }$ — функция стандартного нормального распределения, ${\displaystyle \Phi (a)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{a}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}$.

Аналогично, цена ретроспективного пут-опциона с плавающим страйком задаётся формулой:

${\displaystyle LP_{t}=-S\Phi (-a_{1}(S,M))+Me^{-r\tau }\Phi (-a_{2}(S,M))+{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (a_{1}(S,M))-e^{-r\tau }(M/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (a_{3}(S,M))).}$

Частичные ретроспективные опционы — подкласс традиционных ретроспективных опционов с аналогичной структурой выплаты, но с целью снижения справедливой цены опциона. Один из способов добиться этого — линейно масштабировать справедливую цену постоянным коэффициентом ${\displaystyle \lambda }$, где ${\displaystyle 0<\lambda <1}$^[2]. Таким образом, выплата равна:

${\displaystyle \lambda (\max\{S_{i}\}_{1}^{T}-S_{T})}$

Более сложный путь формирования частичных ретроспективных опционов и других опционов подобного подкласса заключается в выборе конкретных дат мониторинга (специально выбранных временных моментов, когда фиксируется состояние базового актива, используемое для определения конечной выплаты). Принцип заключается в отборе подмножества контрольных дат, благодаря чему условие ретроспекции становится менее строгим, что снижает премию по опциону. Примеры включают частичный ретроспективный опцион, предложенный Хейненом и Каттом (англ. Heynen and Kat)^[3], и амнестический (учитывающий выборочно только отдельные периоды и игнорирующий при расчёте премии и оплаты остальную история цен актива) ретроспективный опцион, предложенный Чангом и Ли (англ. Chang and Li)^[4].

Оценка дискретных частичных опционов, зависящих от траектории, завышена при непрерывных допущениях; их оценка сложна и обычно выполняется с применением численных методов^[5][6].