Модели стохастической волатильности

Первоначальная концепция стохастической волатильности зародилась на стыке нескольких дисциплин — теории случайных процессов, ценообразования опционов и эконометрики. Она появилась в 1970е годы как критическое дополнение к модели БлэкаШоулза, некорректно предполагавшей постоянство риска во времени. Тогда стало очевидным, что реальная динамика финансовых рынков характеризуется существенными колебаниями волатильности, игнорируемыми традиционными моделями.

Первым ключевым этапом стало предложение учёных-финансистов Джона Халла (англ. John С. Hull) и Алана Уайта (англ. Alan White) в 1987 году рассмотреть волатильность как отдельный случайный процесс, зависимый от другого источника неопределённости^[3]. Параллельно американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 2003 года Роберт Энгл создал модель ARCH, объясняющую феномен кластеризации волатильности, открыв новую страницу в статистике финансов^[4]. Следующим крупным достижением стала разработанная в 1993 году модель Стивена Хестона (англ. Steven Heston), предложившего аналитическое решение для расчёта премий опционов с учётом изменяющейся волатильности^[5]. Позднее, в начале 2000х, американский исследователь Патрик С. Хаган (англ. Patrick S. Hagan) с группой соавторов разработал популярную модель SABR, ставшую стандартом для рынков процентных ставок и валют. Современные тенденции включают введение дробных моделей, учитывающих долговременную память в поведении волатильности, и гибридных методов, совмещающих локальное и стохастическое моделирование.

Эволюция современной концепции стохастической волатильности демонстрирует постепенный переход от элементарных дополнений к сложным методикам, адекватно отражающим сложность финансовых рынков. Историю раннего этапа развития этих моделей можно проследить в работе британского исследователя в области финансовой эконометрики и стохастических процессов Нила Шепарда (англ. Neil Shephard) «Стохастическая волатильность»^[6].

Отталкиваясь от подхода с постоянной волатильностью, предположим, что цена базового актива производного инструмента следует стандартной модели геометрического броуновского движения:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$,

где ${\displaystyle \mu \,}$ — это постоянный коэффициент дрейфа (соответствующий ожидаемой доходности) цены актива ${\displaystyle S_{t}\,}$, ${\displaystyle \sigma \,}$ — постоянная волатильность, а ${\displaystyle dW_{t}\,}$ — стандартный винеровский процесс с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Явное решение этого стохастического дифференциального уравнения имеет вид:

${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.}$

Метод максимального правдоподобия используется для оценки постоянной волатильности ${\displaystyle \sigma \,}$, исходя из имеющихся данных о ценах акций ${\displaystyle S_{t}\,}$​ в моменты времени ${\displaystyle t_{i}\,}$ː​

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\sigma }}^{2}&=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(\ln S_{t_{i}}-\ln S_{t_{i-1}})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)-{\frac {1}{n}}{\frac {(\ln S_{t_{n}}-\ln S_{t_{0}})^{2}}{t_{n}-t_{0}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\left({\frac {\ln {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}}{t_{i}-t_{i-1}}}-{\frac {\ln {\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{0}}}}}{t_{n}-t_{0}}}\right)^{2};\end{aligned}}}$

её математическое ожидание составляет ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.}$

Эта базовая модель с постоянной волатильностью ${\displaystyle \sigma \,}$ является отправной точкой для нестохастических моделей волатильности, таких как модель Блэка̟ — Шоулза и модель Кокса — Росса — Рубинштейна^[7].

Для модели стохастической волатильности необходимо заменить постоянную волатильность ${\displaystyle \sigma }$ функцией ${\displaystyle \nu _{t}}$, которая моделирует дисперсию ${\displaystyle S_{t}}$. Эта функция дисперсии также моделируется как броуновское движение, а вид ${\displaystyle \nu _{t}}$ зависит от конкретной изучаемой модели стохастической волатильности.

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}\,}$ ${\displaystyle d\nu _{t}=\alpha _{\nu ,t}\,dt+\beta _{\nu ,t}\,dB_{t}\,}$где ${\displaystyle \alpha _{\nu ,t}}$ и ${\displaystyle \beta _{\nu ,t}}$ — это некоторые функции от ${\displaystyle \nu }$, а ${\displaystyle dB_{t}}$ — ещё один стандартный гауссовский процесс, который коррелирует с ${\displaystyle dW_{t}}$ с постоянным коэффициентом корреляции ${\displaystyle \rho }$.

Широко используемая модель Хестона представляет собой модель стохастической волатильности, в которой случайность процесса дисперсии изменяется пропорционально квадратному корню из самой дисперсии. В таком случае дифференциальное уравнение для дисперсии записывается следующим образом:

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dB_{t}\,}$,

где ${\displaystyle \omega }$ — среднее долгосрочное значение дисперсии;

${\displaystyle \theta }$ — скорость возвращения дисперсии к среднему значению;

${\displaystyle \xi }$ — волатильность процесса дисперсии (волатильность волатильности);

${\displaystyle dB_{t}}$ — это, как и ${\displaystyle dW_{t}}$, гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией ${\displaystyle dt}$, причём ${\displaystyle dW_{t}}$ и ${\displaystyle dB_{t}}$ коррелируют между собой с постоянным коэффициентом корреляции ${\displaystyle \rho }$.

Иначе говоря, модель Хестона предполагает, что дисперсия является случайным процессом, обладающим следующими свойствами:

• возвращается к своему долгосрочному среднему значению ${\displaystyle \omega }$ со скоростью ${\displaystyle \theta }$;
• имеет волатильность, пропорциональную квадратному корню из текущего уровня дисперсии;
• случайность процесса дисперсии коррелирует со случайностью процесса цены базового актива с коэффициентом ${\displaystyle \rho }$.

Некоторые параметризации поверхности волатильности, такие как SVI^[8], основаны на модели Хестона^[9].

Модель постоянной эластичности дисперсии (англ. CEV) описывает взаимосвязь между волатильностью и ценой, вводя стохастическую волатильность^[10]:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}^{\,\gamma }\,dW_{t}.\,}$

Концептуально, на некоторых рынках волатильность растёт при росте цен (например, на товарных рынках), что моделируется условием ${\displaystyle \gamma >1}$. На других рынках волатильность, напротив, увеличивается при падении цен, что соответствует случаю ${\displaystyle \gamma <1}$ .

Существует мнение, что поскольку в классической CEV нет отдельного независимого уравнения (второго источника случайности) для процесса самой волатильности, она не является моделью стохастической волатильности в строгом смысле слова. Вместо этого её относят к моделям локальной волатильности.

Модель SABR (англ. Stochastic Alpha, Beta, Rho), предложенная американскими исследователями в области количественных финансов Патриком С. Хаганом, Дипом Кумаром (англ. Deep Kumar), Анджеем Лесневским (англ. Andrew Lesniewski) и Дианой Вудворд (англ. Diana Woodward)^[11], описывает динамику форвардной цены ${\displaystyle F}$ (относящейся к любому активу, например, к индексу, процентной ставке, облигации, валюте или акции) в условиях стохастической волатильности ${\displaystyle \sigma }$ː

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }\,dW_{t},}$${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

где начальные значения ${\displaystyle F_{0}}$ и ${\displaystyle \sigma _{0}}$ представляют собой текущую форвардную цену и волатильность соответственно, в то время как ${\displaystyle W_{t}}$ и ${\displaystyle Z_{t}}$— это два коррелированных винеровских процесса (броуновских движений) с коэффициентом корреляции ${\displaystyle -1<\rho <1}$. Постоянные параметры ${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$ удовлетворяют условиям ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$.

Главной особенностью модели SABR является её способность воспроизводить улыбку волатильности.

Модель GARCH — модель обобщённой авторегрессионной условной гетероскедастичности (англ. the Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) — является ещё одной популярной моделью для оценки стохастической волатильности. Суть этой модели заключается в описании «памяти рынка»: она математически подтверждает, что периоды высокой волатильности склонны к объединению в кластеры и что текущий риск напрямую зависит от недавних рыночных шоков. В ней предполагается, что случайность процесса дисперсии изменяется пропорционально самой дисперсии, в отличие от модели Хестона, где она пропорциональна квадратному корню из дисперсии. Стандартная модель GARCH (1.1) — первая единица означает учёт уровня волатильности за предыдущий период, а вторая — реакцию на рыночный шок предыдущего дня — для непрерывного дифференциала дисперсии имеет следующий вид^[12]ː

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}\,dB_{t}.\,}$

Исходная модель GARCH была расширена множеством вариантов, включая NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJRGARCH, Power GARCH, Component GARCH и другие^[13]. Однако, строго говоря, условная волатильность в моделях GARCH не является стохастической, так как в момент времени t она полностью предопределена (детерминирована) заданными предыдущими значениями^[14].

Модель 3/2 схожа с моделью Хестона, однако в ней предполагается, что случайная составляющая процесса дисперсии изменяется пропорционально ${\displaystyle \nu _{t}^{3/2}}$. Дифференциал дисперсии имеет следующий вид:

${\displaystyle d\nu _{t}=\nu _{t}(\omega -\theta \nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}^{3/2}\,dB_{t}.\,}$

При этом значение параметров здесь отличается от модели Хестона^[15]. В данной модели как параметр возврата к среднему, так и волатильность волатильности являются стохастическими величинами, определяемыми выражениями ${\displaystyle \theta \nu _{t}}$ и ${\displaystyle \xi \nu _{t}}$ соответственно.

Анализируя оценки волатильности на основе высокочастотных данных, исследователи поставили под сомнение гладкость процесса волатильности^[16]. Ранее считалось, что изменения волатильности носят плавный и непрерывный характер без резких скачков. Однако новые исследования показали, что логарифм волатильности ведёт себя скорее как дробное броуновское движение с показателем Херста порядка ${\displaystyle H=0.1}$ на любых разумных временных шкалах.

Показатель Херста ${\displaystyle H}$ характеризует степень регулярности и хаотичности процесса. Чем меньше ${\displaystyle H}$, тем сильнее процесс подвержен скачкообразным изменениям, и наоборот, при высоких значениях ${\displaystyle H}$ процесс более плавный и предсказуемый. Показатели Херста, меньшие 0,5, свидетельствуют о преобладании нерегулярных и непредсказуемых скачков, что приводит к понятию шероховатости волатильности. Это открытие дало толчок к развитию моделей дробной стохастической волатильности (англ. Fractional Stochastic Volatility, FSV)^[17], которые воплотились в единую категорию моделей под названием RFSV (англ. Rough Fractional Stochastic Volatility) — шероховатые модели дробной стохастической волатильности. Слово шероховатая подчёркивает низкую гладкость процесса, так как показатель Херста в этих моделях ${\displaystyle H<1/2}$.

Модели RFSV согласуются с временными рядами данных и позволяют улучшать прогнозы реализованной волатильности^[16][18].

Выбранную конкретную модель стохастической волатильности необходимо откалибровать по существующим рыночным данным. Процесс калибровки заключается в определении оптимального набора параметров модели, наиболее вероятного при заданных данных. Один из популярных методов — это метод максимального правдоподобия. Например, в модели Хестона параметры ​${\displaystyle \Psi _{0}=\{\omega ,\theta ,\xi ,\rho \}\,}$ можно определить, применяя алгоритм математического правдоподобия, например, метод сопряжённых направлений Пауэлла, к историческим ценам базового актива.

Процесс калибровки начинается с начального приближения параметров ${\displaystyle \Psi _{0}\,}$​, после чего производится расчёт разницы между теоретическими и наблюдаемыми ценами. Затем параметры ${\displaystyle \Psi \,}$уточняются таким образом, чтобы минимизировать величину этих отклонений. По завершении процедуры калибровки рекомендуется регулярно её повторять, учитывая новые рыночные данные^[19].

Альтернативой калибровке является статистическое оценивание, которое позволяет учитывать неопределённость параметров. Существуют разнообразные методы, как частотностатистические (англ. frequentist), так и байесовские (англ. Bayesian), предназначенные для большинства вышеуказанных моделей.

Частотностатистические методы оценивают параметры на основе наблюдаемых данных, а байесовские учитывают предварительно накопленную информацию и формируют апостериорное (уточнённое с учётом новых данных) распределение параметров. Например, среди расширений открытого программного обеспечения R можно выделить пакеты, специально разработанные для оценивания гетероскедастичности (непостоянства дисперсии). Первые три пакета предназначены для моделей типа GARCH с детерминированной волатильностью, а четвёртый — для оценивания стохастической волатильностиː

• rugarch: реализует модели ARFIMA, модели с включением волатильности в уравнение среднего (англ. in-mean), использование внешних регрессоров и различные модификации GARCH, включает методы для оценки параметров, прогнозирования, симуляции, статистического вывода и построения графиков^[20];
• fGarch: служит функциональным компонентом среды Rmetrics, и используется для глубокого изучения вычислительных финансов; пакет позволяет анализировать сложные финансовые временные ряды, подготавливая специалистов в области финансового инжиниринга;
• bayesGARCH: выполняет байесовское оценивание^[21] параметров модели GARCH(1,1) с использованием распределения Стьюдента для моделирования инноваций (остатков); пакет обеспечивает более точный учёт феномена толстых хвостов (англ. fat tails) в данных, позволяя анализировать вероятностные характеристики рыночных шоков;
• stochvol: предлагает высокоэффективные алгоритмы для полного байесовского оценивания моделей стохастической волатильности; пакет обрабатывает сложные вычисления параметров волатильности по схеме марковских цепей МонтеКарло (англ. Markov chain Monte Carlo (MCMC))^[22][23].

Со временем было разработано множество численных методов, позволяющих решить задачу ценообразования финансовых активов (например, опционов) в рамках моделей стохастической волатильности. Одной из недавно разработанных прикладных концепций является модель локальностохастической волатильности (англ. Local Stochastic Volatility, LSV)^[24]. Эта модель даёт более точные результаты при оценке новых финансовых инструментов, таких как валютные опционы.

Также существуют альтернативные библиотеки для статистического оценивания на других языках программирования, например, на Pythonː

• PyFluxː включает поддержку байесовского и классического вывода для моделей GARCH и betatEGARCH.

Области применения моделей стохастической волатильности разнообразны и охватывают широкий спектр направлений в финансовой индустрии:

• оценка опционовː обеспечивают точное воспроизведение «улыбки волатильности» и правильный учёт изменчивости риска относительно цены актива^[25];
• инвестиции: помогают оценивать сложные экзотические деривативы, зависящие от динамики будущей волатильности^[26];
• управление рискамиː используются для проведения стресстестирования и расчёта показателя ValueatRisk, определяющего размер необходимых банковских резервов^[27];
• маркетмейкерская деятельностьː обеспечивают поддержание справедливой ценовой ликвидности путём своевременной коррекции котировок в условиях изменяющихся рыночных условий;
• алгоритмическая торговляː способствуют извлечению прибыли из краткосрочных рыночных неэффективностей, используя стратегии, основанные на моделях стохастической волатильности;
• портфельное управлениеː позволяют оптимизировать распределение активов в зависимости от прогнозируемых уровней риска и неопределённости;
• высокочастотная торговляː помогают анализировать мгновенно происходящие изменения на рынке и получать преимущества от внутридневной торговли с использованием моделей шероховатой волатильности;
• центральные банкиː применяются для интеграции в макроэкономические модели, улучшая понимание последствий денежнокредитной политики на финансовую стабильность;