Спрэд-опцион

Для спрэд-колла (колл-опциона на спрэд) выплата может быть записана как ${\displaystyle C=\max(0,S_{1}-S_{2}-K)}$, где ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ — цены двух активов, а ${\displaystyle K}$ — константа, называемая ценой исполнения (страйк-ценой).

Для спрэд-пута (пут-опциона на спрэд) формула выглядит так: ${\displaystyle P=\max(0,K-S_{1}+S_{2})}$.

Когда ${\displaystyle K}$ равно нулю, спрэд-опцион становится идентичен опциону обмена одного актива на другой. В этом конкретном случае доступно явное аналитическое решение — формула Марграбе; такой тип также известен как опцион Марграбе или опцион на превосходство (англ. outperformance option).

В 1995 году была опубликована аппроксимация Кирка (англ. Kirk's Approximation)^[4] — формула, действительная для случаев, когда значение ${\displaystyle K}$ мало, но не равно нулю. Она представляет собой модификацию стандартного подхода Блэка-Шоулза, но использует специальное выражение для расчёта волатильности — сигму (${\displaystyle \sigma }$), учитывающую индивидуальные волатильности обоих активов и их корреляцию. Аппроксимация Кирка может быть также выведена из формулы Марграбе^[5].

В том же году Нейл Пирсон (англ. Neil Pearson), американский специалист по вопросам ценообразования деривативов и управлении рисками, опубликовал алгоритм^[6], требующий одномерного численного интегрирования для расчёта стоимости опциона. Впоследствии корейско-американский учёный в области математического моделирования Чой Дже-хюн (англ. Jaehyun H. Choi) продемонстрировал, что, благодаря специальному выбору системы координат и использованию метода квадратуры Гаусса-Эрмита, численное интегрирование, необходимое для оценки опционов, можно произвести гораздо быстрее и эффективнее^[7]. Его работа позволила существенно ускорить расчёты и снизить вычислительную сложность при оценке опционов с несколькими активами, что крайне важно для практического применения в финансовой индустрии.

В 2006 году международная команда исследователей в составе Минцяна Ли (англ. Minqiang Li), Ши-Цзе Дэна (англ. Shi-Jie Deng) и Чой Дже-хюна^[8] опубликовала точные приближённые формулы для расчёта стоимости спрэд-опционов и их соответствующих греков, показателей чувствительности.