Опцион на облигацию

Облигации, выступающие в данном случае в качестве базового актива, обладают свойством, известным как «тяготение к номиналу» (англ. pull-to-par): связанные с облигацией цены по мере приближения даты погашения ценной бумаги становятся известны, что приводит к снижению волатильности цены. Поэтому модель Блэка-Шоулза, предполагающая постоянную волатильность, не отражает этот процесс и, следовательно, не может быть здесь применена^[3].

Для решения этой проблемы опционы на облигации обычно оцениваются с помощью модели Блэка или решёточной модели динамики краткосрочной ставки, такой как модели Блэка-Дермана-Тоя, Хо-Ли или Халла-Уайта^[4]. Последний подход теоретически более корректен^[5], хотя на практике модель Блэка используется чаще из-за её простоты и скорости. Для американского и бермудского опциона, исполнение которых разрешено до срока погашения, применим только решёточный подход.

• В модели Блэка текущая цена в формуле является не рыночной ценой базового актива (облигации), а форвардной ценой. Форвардная цена рассчитывается следующим образом: сначала из сегодняшней «грязной» цены облигации вычитается приведённая стоимость купонов, подлежащих выплате между сегодняшним днём и датой исполнения опциона, а затем эта сумма экстраполируется до даты исполнения, используя текущую кривую доходности (англ. yield сurve), а не годовую доходность облигации (англ. YTM). Применение модели Блэка в такой модификации становится возможным потому, что в качестве нумерара (масштабной единицы) используется $1 на момент поставки, тогда как в модели Блэка-Шоулза нумераром служит $1 на текущий момент. Это позволяет нам сделать два допущения: (а) цена облигации является случайной величиной в будущую дату, и (б) безрисковая ставка в период между сегодняшним днём и будущей датой является постоянной. Последнее возможно благодаря использованию форвардной меры, которая позволяет вывести дисконтирование за знак математического ожидания^[6]. Таким образом, оценка стоимости проводится в риск-нейтральном «форвардном мире», где ожидаемая будущая спотовая ставка равна форвардной ставке, а её стандартное отклонение такое же, как и в реальном мире (cогласно теоремы Гирсанова)^[7]. Используемая волатильность обычно «считывается» с поверхности подразумеваемой волатильности.

• Решёточная модель представляет собой дерево коротких ставок, которое строится с нулевого шага. Этот начальный шаг калибруется на основе текущей кривой доходности и волатильности короткой ставки (обычно измеряемой через цены каплетов). При этом последний временной шаг дерева соответствует дате погашения базовой облигации. Оценка стоимости облигации производится на каждом узле с помощью метода обратной индукции. Данный метод предполагает пошаговое перемещение назад по дереву: на конечном уровне узлы принимают значение равное номиналу облигации ($1), плюс соответствующие купонные выплаты (при наличии); на каждом предшествующем уровне стоимость узла вычисляется как дисконтированная сумма ожидаемых значений соседних узлов следующего уровня (учитывая вероятность движения вверх или вниз), плюс возможные купонные выплаты за текущий период. Далее, опцион оценивается аналогично опциону на акции: на узлах, соответствующих сроку истечения опциона, его стоимость определяется денежностью (англ. moneyness). На более ранних узлах она представляет собой дисконтированную ожидаемую стоимость опциона в узлах «вверх» и «вниз» на следующем временном шаге, и, в зависимости от стиля и типа опциона стоимости самой облигации на данном узле^[5][8]. Для обоих этапов дисконтирование выполняется по краткосрочной ставке, соответствующей рассматриваемому узлу дерева. Следует отметить, что дерево Халл-Уайта обычно является трёхуровневым: логика та же, однако на каждой стадии рассматриваются три узла вместо двух. Этот подход позволяет постепенно оценить стоимость облигации от даты погашения до текущего момента, обеспечивая наиболее точную оценку её рыночной стоимости на сегодняшний день.

Термин опцион на облигацию также используется для обозначения встроенных опционных характеристик (англ. emedded options) некоторых облигаций^[9]. Такие опции не исключают друг друга, поэтому одна облигация может содержать несколько встроенных опций.

К таким облигациям относятся:

• Облигация с правом отзыва (англ. callable bond) позволяет эмитенту выкупить облигацию по заранее установленной цене в определённый момент в будущем. Держатель такой облигации, по сути, продал колл-опцион эмитенту. Отзывные облигации не могут быть отозваны в течение первых нескольких лет своего существования. Этот период известен как период блокировки (англ. lock out period).
• Облигация с правом досрочного погашения (англ. puttable bond) позволяет держателю потребовать досрочного погашения по заранее установленной цене в определённый момент в будущем. Фактически, держатель такой облигации приобрёл пут-опцион на облигацию.
• Конвертируемая облигация (англ. convertible bond) позволяет держателю потребовать конвертации облигаций в акции эмитента по заранее установленной цене в определённый период времени в будущем.
• Продлеваемая облигация (англ. extendible bond) позволяет держателю продлить срок погашения облигации на определённое количество лет.
• Обмениваемая облигация англ. exchangeable bond) позволяет держателю требовать конвертации облигаций в акции другой компании, обычно публичной дочерней компании эмитента, по заранее установленной цене в определённый период времени в будущем.

Решёточный подход применим к оценке отзывных и досрочно погашаемых облигаций по указанному выше алгоритму. Однако на каждом узле дерева дополнительно учитывается влияние встроенного опциона, что соответствующим образом влияет на цену облигации и/или цену опциона^[5][10]. Отзывные и досрочно погашаемые облигации также иногда оцениваются с помощью модели Блэка-Шоулза. В этом случае они оцениваются как обычные (то есть встроенные характеристики в расчёт не принимаются), а опцион оценивается по формуле Блэка-Шоулза. Стоимость опциона затем прибавляется к цене обычной облигации, если право исполнения принадлежит покупателю облигации, или вычитается, если право исполнения принадлежит продавцу облигации (то есть эмитенту)^[11][12].

Для конвертируемых и обмениваемых облигаций применяется более сложный подход, при котором инструмент рассматривается как «связанная система», состоящая из акционерного и долгового компонентов, каждый из которых имеет разные риски дефолта.

Европейские пут-опционы на бескупонные облигации можно рассматривать как эквивалент соответствующих кэплетов (компонентов процентного кэпа (с англ. — «процентный потолок, ограничение сверху»)), тогда как колл-опционы можно рассматривать как эквивалент соответствующих флорлетов (компонентов процентного флора (с англ. — «процентный пол, ограничение снизу»)).

Примером этому служат исследования итальянских специалистов в области математических финансов Дамиано Бриго (англ. Damiano Brigo) и Фабио Меркурио (англ. Fabio Mercurio), которые предложили модель, позволяющую эффективно оценивать сложные процентные деривативы с учётом множественных факторов риска и их взаимозависимости. Их подход, изложенный в совместной книге 2001 года^[13], обеспечивает высокую точность расчётов и совместимость с реальными рыночными ценами, что делает его востребованным инструментом в современной финансовой практике. Особенно ценным аспектом их модели является использование теории мартингальных мер, что позволяет корректно определять арбитражно-справедливую стоимость деривативных контрактов даже в условиях сложной динамики процентных ставок.