Своп на волатильность

Выплаты по свопу на волатильность в момент экспирации рассчитываются по следующей формуле:

${\displaystyle (\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})N_{\text{vol}}}$

где:

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}}$ — реализованная волатильность в годовом исчислении (фактически измеренная среднегодовая волатильность базового актива за весь период действия контракта);
• ${\displaystyle K_{\text{vol}}}$ — цена исполнения (страйк) волатильности (фиксированный уровень волатильности, о котором стороны договариваются в момент заключения сделки);
• ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$ — заранее согласованная номинальная сумма (также называемая «номиналом веги»).

Данная формула означает, что держатель свопа на волатильность получает сумму ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$ за каждый пункт, на который фактически реализованная годовая волатильность ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}}$ превысила страйк ${\displaystyle K_{\text{vol}}}$. И наоборот: если реализованная волатильность окажется ниже страйка, держатель выплачивает сумму ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$^[2].

Обычно базовыми активами для свопов на волатильность выступают финансовые инструменты с ликвидным рынком опционов, что обеспечивает надёжные индикаторы текущей волатильности (например, валютные пары, биржевые индексы или акции крупных компаний)^[3]. В отличие от инвестиций в опционы, где влияние волатильности на цену инструмента искажается зависимостью от динамики стоимости самого актива, данный вид свопа обеспечивает прямую чувствительность прибыли исключительно к волатильности (так называемую «чистую» экспозицию). Тем не менее, в полной мере это утверждение справедливо лишь к форвардным свопам на волатильность (англ. forward-starting volatility swaps). Как только по контракту начинаются фиксации цен базового актива, его текущая рыночная стоимость (англ. mark-to-market — процедура регулярной переоценки контракта по актуальным рыночным ценам, которая позволяет оценить возможную прибыль или убыток при немедленном выходе из позиции) также попадает в зависимость от котировок базового актива. Эти инструменты можно использовать для спекуляций на будущих уровнях волатильности, для торговли спредом между реализованной и подразумеваемой волатильностью, а также для хеджирования рисков, связанных с волатильностью других позиций или бизнеса^[4].

Свопы на волатильность торгуются гораздо шире и активнее, чем сходные, но более простые вариационные свопы, также называемые свопами на дисперсию (англ. variance swaps)^[5]. Последние представляют собой контракты, в рамках которых выплачивается разница между фактической и фиксированной дисперсией доходности базового актива (дисперсия характеризует степень разброса доходностей вокруг среднего значения, а волатильность — меру изменчивости актива, выражаемую в процентах годовых). Основное различие между двумя видами свопов заключается в структуре выплат. Платежи по вариационному свопу напрямую зависят от величины дисперсии доходности актива, тогда как выплаты по свопу на волатильность увеличиваются быстрее, чем растёт сам показатель волатильности (демонстрируя так называемую «выпуклую зависимость»^[6]). Данная нелинейность делает невозможным создание устойчивого синтетического портфеля, эквивалентного свопу на волатильность, c помощью стратегии «купи и держи» (англ. buy-and-hold strategy — приобретение активов с намерением удерживать их длительное время без активного реагирования на краткосрочные колебания рынка). В отличие от статичных портфелей, управление таким инструментом предполагает постоянный пересмотр открытой позиции. Однако используя вариационный своп (${\displaystyle \Sigma _{T}^{2}}$​) как инструмент хеджирования и принимая волатильность (${\displaystyle \Sigma _{T}}$) как цель, последнюю можно выразить как функцию от дисперсии:

${\displaystyle \Sigma _{T}=a\Sigma _{T}^{2}+b}$,

где коэффициенты ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ выбраны таким образом, чтобы минимизировать ожидаемое квадратичное отклонение сторон равенства:

${\displaystyle {\text{min}}E[(\Sigma _{T}-a\Sigma _{T}^{2}-b)^{2}]}$.

Расчёт реализованной годовой волатильности зависит от подхода к отслеживанию цен базового актива, которое может осуществляться как либо в дискретные моменты времени, либо непрерывно. Для дискретного подхода, по аналогии со структурой вариационного свопа, предположим, что имеется ${\displaystyle n+1}$ точек наблюдения за ценами базового актива, обозначенных как ${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}}$, где ${\displaystyle 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$ для всех ${\displaystyle i}$ от 1 до ${\displaystyle n}$. Определим ${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}})}$ как непрерывно начисляемую (логарифмическую) доходность. Тогда реализованная волатильность в годовом исчислении при дискретном расчёте определяется следующим образом:

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}:={\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}}.}$

По сути, это квадратный корень из реализуемой годовой дисперсии (вариации). Здесь коэффициент ${\displaystyle A}$ обозначает фактор приведения к годовому масштабу, который обычно принимается равным количеству наблюдений за ценой в течение года. Например, ${\displaystyle A=252}$ , если цена фиксируется ежедневно, или ${\displaystyle A=52}$, если фиксация осуществляется еженедельно. Величина ${\displaystyle T}$ обозначает срок экспирации свопа на волатильность и определяется как отношение количества интервалов наблюдения к годовому коэффициенту (${\displaystyle n/A}$)^[7].

Непрерывный вариант реализованной годовой волатильности определяется как квадратный корень из квадратичной вариации логарифма доходности базового активаː

• ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}:={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

где ${\displaystyle \sigma (s)}$ — мгновенная волатильность базового актива. Когда количество наблюдений цены стремится к бесконечности, можно заметить, что дискретная реализованная волатильность ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}}$ сходится по вероятности к её непрерывному аналогу ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$^[8], то есть:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}}.}$

Данное равенство демонстрирует взаимосвязь и согласованность между дискретным и непрерывным подходами^[9].

Основной задачей ценообразования свопов является нахождение справедливой цены исполнения (страйка), поскольку вход в такой контракт является бесплатным. Одним из наиболее популярных подходов к определению такой справедливой цены является использование метода мартингального ценообразования. Суть этого метода заключается в нахождении математического ожидания текущей стоимости (англ. present value) данного производного финансового инструмента относительно некоторой риск-нейтральной вероятностной меры (или мартингальной меры). Выбор такой меры напрямую зависит от модели, используемой для описания динамики цен^[10].

Математически, если предположить, что динамика цена актива ${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$ следует модели Блэка — Шоулза при мартингальной мере ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то она описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ):

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)dt+\sigma (t)dW_{t},\;\;S_{0}>0}$,

где:

• ${\displaystyle T}$ — дата экспирации (исполнения) своп-контракта;
• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$ — (зависящая от времени) безрисковая процентная ставка;
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$ — (зависящая от времени) волатильность цены;
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$ — винеровский процесс в фильтрованном вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$, где ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$ — его естественная фильтрация.

Поскольку нам известно, что ${\displaystyle (\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})\times N_{\text{vol}}}$ представляет собой выплату по свопу на волатильность в момент экспирации для случая дискретной выборки (которая заменяется на ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$ для непрерывного подхода), то её ожидаемая стоимость в момент времени ${\displaystyle t_{0}}$, обозначаемая как ${\displaystyle V_{t_{0}}}$, составляет:

${\displaystyle V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{vol}}.}$

Так как стоимость вхождения в контракт в начальный момент равна нулю, значение справедливого страйка волатильности определяется как:

${\displaystyle K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]}$.

Данное решение может быть найдено различными способами. Например, можно получить формулу ценообразования в закрытом виде (аналитическое решение)^[11], если известна функция распределения вероятностей (или её плотность) для ${\displaystyle \sigma }_{\text{realized}}$ или ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$. В противном случае расчёт производится численно с помощью метода Монте-Карло. Кроме того, при соблюдении определённых ограничений, для аппроксимации (приближённого расчёта) решения можно использовать стоимость европейских опционов^[12].

Применение свопов на волатильность включает следующие направления:

• спекуляция на изменении волатильности: покупатели свопов зарабатывают на повышении волатильности, продавцы — на снижении;
• хеджирование рисков: позволяют защититься от неблагоприятных скачков волатильности базового актива, снижая потенциальные убытки^[13];
• арбитраж: использование расхождений между реализованной и подразумеваемой волатильностью для извлечения прибыли;
• создание диверсифицированных инвестиционных стратегий: помогают сбалансировать портфели, сочетающие классические активы и инструменты волатильности.