Пограничный слой

Понятие пограничного слоя было введено Людвигом Прандтлем в докладе «Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung», представленном 12 августа 1904 года на III Международном конгрессе математиков в Гейдельберге^[1]. Идея Прандтля состоит в разделении течения при больших числах Рейнольдса на две области: тонкий пристеночный вязкий слой, где существенны силы трения, и внешний практически невязкий поток, описываемый уравнениями Эйлера. Такое разделение резко упрощает исходные уравнения Навье — Стокса и делает их пригодными для инженерных расчётов.

Развитие теории пограничного слоя связано с именами П. Блазиуса (точное решение для ламинарного слоя на пластине, 1908), Т. фон Кармана и К. Польгаузена (интегральные методы, 1921), В. Толлмина и Г. Шлихтинга (теория гидродинамической устойчивости и ламинарно-турбулентного перехода), Ф. Клаузера и Д. Коулса (турбулентный слой при градиенте давления).

Л. Парндтль - немецкий ученый, автор понятия: "пограничный слой"

Значительный вклад в теорию и практику расчёта пограничного слоя внесли советские и российские учёные. Л. Г. Лойцянский развил универсальные методы расчёта ламинарного и турбулентного пограничного слоя с продольным градиентом давления^[2]. А. А. Дородницын предложил преобразование, приводящее уравнения сжимаемого пограничного слоя к виду, близкому к несжимаемому (преобразование Дородницына)^[3]. Н. Е. Кочин, И. А. Кибель и Н. В. Розе систематизировали методы теоретической гидромеханики^[2]. В. В. Струминский распространил теорию на трёхмерные и сжимаемые течения. Работы Л. И. Седова, Г. Г. Чёрного, В. Я. Нейланда (теория свободного взаимодействия и отрывных течений при сверхзвуковых скоростях)^[4], А. В. Лыкова и С. С. Кутателадзе (тепло- и массообмен в пограничном слое)^[5] образуют признанную научную школу.

Ведущим центром экспериментального и теоретического изучения пограничного слоя в применении к авиации в России является Центральный аэрогидродинамический институт (ЦАГИ), где в течение десятилетий выполняются работы по расчёту трения и теплоотдачи, ламинаризации обтекания, управлению отрывом потока и аппробации методов CFD (от англ. Computational Fluid Dynamics - расчетный метод компьютерного моделирования) на моделях в аэродинамических трубах Т-101, Т-106, Т-128 и др.

В экспериментальной аэродинамике за толщину пограничного слоя ${\displaystyle \delta }$ принимают расстояние от стенки, на котором скорость течения отличается от скорости внешнего потока ${\displaystyle U_{\infty }}$ на 1 % (иногда 0,5 %). Наряду с ${\displaystyle \delta }$ используют интегральные характеристики:

• толщина вытеснения ${\displaystyle \delta ^{*}=\int _{0}^{\infty }\!\!\left(1-{\frac {\rho u}{\rho _{\infty }U_{\infty }}}\right)dy}$ — расстояние, на которое линии тока внешнего течения оттесняются от стенки;
• толщина потери импульса ${\displaystyle \theta =\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\rho u}{\rho _{\infty }U_{\infty }}}\left(1-{\frac {u}{U_{\infty }}}\right)dy}$, непосредственно связанная с сопротивлением трения;
• формпараметр ${\displaystyle H=\delta ^{*}/\theta }$, характеризующий близость к отрыву.

Для плоской пластины толщина вытеснения ламинарного слоя ${\displaystyle \delta ^{*}\approx \delta /3}$, турбулентного ${\displaystyle \delta ^{*}\approx \delta /8}$.

Классические критерии и методы:

• Критерий Толлмина — Шлихтинга (1929—1933): линейная теория устойчивости, «волны Толлмина — Шлихтинга»^[9].
• Эксперименты Г. Шубауэра и Х. Скремстада (1948) в трубе с низкой турбулентностью NACA^[10].
• e^N-метод А. М. О. Смита и Й. ван Ингена (1956): переход при ${\displaystyle N\approx 8\dots 11}$^[11].
• Эмпирические критерии Михеля (1951) и Гранвиля.

Для плоской пластины при малой турбулентности потока переход обычно происходит при ${\displaystyle \mathrm {Re} _{x,{\text{tr}}}\approx 3\cdot 10^{5}\dots 3\cdot 10^{6}}$; на гладком крыле современного дозвукового самолёта — при ${\displaystyle \mathrm {Re} _{x,{\text{tr}}}\sim 10^{6}\dots 10^{7}}$. В сверх- и гиперзвуковой области существенный вклад внесли работы В. Я. Нейланда, В. Н. Жигулёва, С. А. Гапонова и А. А. Маслова (ИТПМ СО РАН)^[12], а также экспериментальные исследования в трубах ЦАГИ и ЦНИИмаш.

Обзорно выделяют следующие уровни моделирования:

Аналитические и автомодельные решения

Решения уравнений Прандтля: Блазиус (пластина), Фолкнер — Скэн (клин), автомодельные решения А. А. Дородницына для сжимаемого газа.

Интегральные методы

Уравнение импульсов фон Кармана (1921)^[13], метод Польгаузена, методы Твейтса и Хеда, обобщённые Л. Г. Лойцянским для течений с градиентом давления.

Численное моделирование пограничного слоя

Численное решение уравнений Прандтля с алгебраическими (Себечи — Смит, Болдуин — Ломакс^[14]), одно- (Спаларт — Аллмарас^[15]) и двухпараметрическими (${\displaystyle k{\text{–}}\varepsilon }$, ${\displaystyle k{\text{–}}\omega }$ SST Ментера^[16]) моделями турбулентности. Развитие моделей для авиационных приложений велось в том числе в ЦАГИ, ИТПМ СО РАН и ЦИАМ.

Для сжимаемых и высокотемпературных течений применяют преобразование Дородницына, метод Ван-Дриста и справочные атласы, обобщённые в монографиях Шлихтинга^[7] и Лойцянского^[2].

Приводимые ниже величины носят справочный характер и получены по формулам турбулентного слоя на пластине при типичных крейсерских режимах.

• Магистральный самолёт класса Ту-204/Airbus A320/Boeing 737 на крейсерском режиме (${\displaystyle M\approx 0{,}78}$, ${\displaystyle H\approx 11}$ км): местное ${\displaystyle \mathrm {Re} _{c}\sim 3\cdot 10^{7}}$ по хорде крыла. Толщина турбулентного пограничного слоя у задней кромки крыла — 4—8 см, толщина вытеснения — 0,5—1 см.
• На фюзеляже длиной 35—45 м у хвостовой части ${\displaystyle \mathrm {Re} _{L}\sim (2\dots 3)\cdot 10^{8}}$, толщина слоя достигает 15—25 см, у широкофюзеляжных самолётов (Boeing 747, Ил-96, Airbus A380) — 30—40 см.
• На передних участках крыла (первые 5—15 % хорды) при благоприятных условиях сохраняется ламинарный режим, при котором толщина слоя не превышает 1—2 мм.

Практически важным следствием роста пограничного слоя вдоль фюзеляжа является необходимость слива пограничного слоя перед воздухозаборниками двигателей. Если двигатели расположены на фюзеляже (Ту-134, Ту-154, Як-42, MD-80, Fokker 100, сверхзвуковые МиГ-25, МиГ-31, F-4 Phantom II), их воздухозаборники всегда отодвигают от поверхности фюзеляжа на несколько сантиметров, размещая между обшивкой и обечайкой специальный клин или щель — канал слива пограничного слоя (англ. boundary layer diverter, splitter plate). Это исключает попадание в компрессор заторможенного, неравномерного и отрывного потока, что могло бы привести к падению тяги, помпажу и повреждению лопаток. В современных истребителях со скрытыми воздухозаборниками (англ. DSI — Diverterless Supersonic Inlet: F-35, JF-17, J-10B) вместо клина используется специально спрофилированный выступ («бамп»), выполняющий ту же функцию^[17].

Пограничный слой определяет сопротивление трения (вязкое сопротивление), которое у современных дозвуковых магистральных самолётов на крейсерском режиме составляет около 45—55 % полного аэродинамического сопротивления (остальное — индуктивное сопротивление ~30—40 %, волновое и сопротивление формы ~10—15 %, интерференционное и прочие — несколько процентов)^[18]. У сверхзвуковых пассажирских самолётов (Ту-144, Конкорд) доля сопротивления трения на крейсерском режиме снижается до 25—35 % из-за роста волновой составляющей^[19]. Именно поэтому сокращение вязкого сопротивления — одно из важнейших направлений повышения топливной эффективности авиации: снижение ${\displaystyle C_{F}}$ на 10 % даёт экономию топлива около 4—5 %.