Колебания

Выделение разных видов колебаний зависит от подчёркиваемых свойств систем с колебательными процессами (осцилляторов).

• Линейные колебания
• Нелинейные колебания
• Релаксационные колебания

• Периодические
• Квазипериодические
• Апериодические
• Антипериодические^{[A: 1]}

Так, периодические колебания определены следующим образом:

• Механические (звук, вибрация)
• Электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые)
• Квантовый осциллятор
• Смешанного типа — комбинации вышеперечисленных

• Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.
• Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити. Частным случаем свободных колебаний являются связанные колебания.
• Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от вынужденных колебаний является то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не параметрами внешнего воздействия.
• Параметрические — колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.

• Амплитуда — максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, ${\displaystyle A\,\!}$ (м)
• Период — время полного колебания, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание), ${\displaystyle T\,\!}$ (с)
• Частота — число колебаний в единицу времени, ${\displaystyle f\,\!}$ (Гц, с⁻¹).

Период колебаний ${\displaystyle T\,\!}$ и частота ${\displaystyle f\,\!}$ — обратные величины:

${\displaystyle T={\frac {1}{f}}\qquad }$ и ${\displaystyle \qquad f={\frac {1}{T}}}$

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота ${\displaystyle \omega \,\!}$ (рад/с, Гц, с⁻¹), показывающая число колебаний за ${\displaystyle 2\pi }$ единиц времени:

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}\qquad }$ и ${\displaystyle \qquad T={\frac {2\pi }{\omega }}}$

• Смещение — отклонение тела от положения равновесия, ${\displaystyle X\,\!}$ (м)
• Фаза колебаний — определяет смещение в любой момент времени, то есть определяет состояние колебательной системы.

Гармонические колебания были известны с XVII века.

Термин «релаксационные колебания» был предложен в 1926 г. ван дер Полем.^{[A: 2][A: 3]} Обосновывалось введение такого термина лишь тем обстоятельством, что указанному исследователю казались все подобные колебания связанными с наличием «времени релаксации» — то есть с концептом, который на тот исторический момент развития науки представлялся наиболее понятным и широко распространённым. Ключевым свойством колебаний нового типа, описанных рядом перечисленных выше исследователей, было то, что они существенно отличались от линейных, — что проявляло себя в первую очередь как отклонение от известной формулы Томсона. Тщательное историческое исследование показало^{[A: 4]}, что ван дер Поль в 1926 г. ещё не осознавал того обстоятельства, что открытое им физическое явление «релаксационные колебания» соответствует введённому Пуанкаре математическому понятию «предельный цикл», и понял он это лишь уже после вышедшей в 1929 г. публикации А. А. Андронова.

Иностранные исследователи признают^{[A: 4]} тот факт, что среди советских учёных мировую известность приобрели ученики Л. И. Мандельштама, выпустившие в 1937 г. первую книгу^{[B: 1]}, в которой были обобщены современные сведения о линейных и нелинейных колебаниях. Однако советские учёные «не приняли в употребление термин „релаксационные колебания“, предложенный ван дер Полем. Они предпочитали термин „разрывные движения“, используемый Блонделем, в частности потому, что предполагалось описывать этих колебаний в терминах медленных и быстрых режимов. Этот подход стал зрелым только в контексте теории сингулярных возмущений»^{[A: 4]}.

Важным типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, происходящие по закону синуса или косинуса. Как установил в 1822 году Фурье, любое периодическое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний путём разложения соответствующей функции в ряд Фурье. Среди слагаемых этой суммы существует гармоническое колебание с наименьшей частотой, которая называется основной частотой, а само это колебание — первой гармоникой или основным тоном, частоты же всех остальных слагаемых, гармонических колебаний, кратны основной частоте, и эти колебания называются высшими гармониками или обертонами — первым, вторым и т. д.^{[B: 2]}

Указывается^{[A: 4]}, что формулировка, представленная Ван дер Полем: «медленная эволюция, сопровождаемая внезапным прыжком» (в оригинале: «slow evolution followed by a sudden jump»), — недостаточна, чтобы избежать неоднозначной интерпретации, причём на это обстоятельство указывали ещё современники ван дер Поля.

Тем не менее, похожим образом релаксационные колебания определяются и в более поздних работах. Например, Е. Ф. Мищенко и соавт.^[2] определяют релаксационные колебания как такие «периодические движения» по замкнутой фазовой траектории, при которых «сравнительно медленные, плавные изменения фазового состояния чередуются с весьма быстрыми, скачкообразными». При этом далее указывается^[3], что «сингулярно возмущённую систему, допускающую такое периодическое решение, называют релаксационной».

Рассматривались отдельно в классической коллективной монографии А. А. Андронова и соав.^[4] под названием «разрывные колебания», более принятому в советской математической школе.

Позже сложилась в теорию сингулярных возмущений (см. напр.^{[B: 3]}).