Интеграл Коши — Лагранжа

В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа^[1] и интеграл Лагранжа — Коши^[2] используются термины интеграл Коши^[3], интеграл Лагранжа. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия^[4], либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (англ. unsteady Bernoulli equation^[5], Bernoulli's theorem for unsteady potential flow^[6])

В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Л.Эйлером^[7]. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости^[8] и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости^[9].

В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {{\text{grad}}^{2}\,\varphi }{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),}$

где ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)}$ — потенциал скорости, ${\displaystyle p(x,y,z,t)}$ — давление в жидкости, ${\displaystyle \rho }$ — её плотность, ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ — декартовы координаты (ось ${\displaystyle z}$ направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь ${\displaystyle f(t)}$ — некоторая функция времени, которую можно считать тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}(x,y,z,t)=\varphi (x,y,z,t)-\int f(t)\,dt}$ (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).

В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, ${\displaystyle \rho =\rho (p)}$ (такой процесс называется баротропным). В этом случае поле массовых сил (действующая на жидкость объемная сила в расчете на единицу массы) обязательно будет потенциальным: ${\displaystyle {\vec {F}}={\text{grad}}\,U,}$ где ${\displaystyle U(x,y,z,t)}$ — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости ${\displaystyle \varphi }$), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {({\text{grad}}\,\varphi )^{2}}{2}}+\int {\frac {dp}{\rho (p)}}-U=f(t).}$