Первые попытки исследования сопротивления среды движению тела были сделаны Леонардо да Винчи и Галилео Галилеем. В 1628 году Бенедетто Кастелли издал работу, в которой достаточно точно для своего времени объяснил несколько явлений при движении жидкости в реках и каналах; однако он ошибочно полагал скорость вытекания жидкости из сосуда пропорциональной расстоянию от отверстия до поверхности воды. Эванджелиста Торричелли, заметив, что вода из фонтана поднимается на высоту, примерно равную уровню воды в питающем водоёме, доказал теорему о пропорциональности скорости истечения квадратному корню из напора и подтвердил её экспериментально. Эдм Мариотт в посмертно опубликованном труде впервые объяснил расхождение теории и эксперимента влиянием трения. В «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» Исаака Ньютона для описания снижения скорости проточной воды впервые последовательно использованы понятия вязкости и внутреннего трения^[3].

Классический период гидродинамики связан с трудами XVIII века. В 1738 году Даниил Бернулли опубликовал трактат «Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii», в котором систематически применил закон сохранения живой силы (энергии) к движению жидкости и получил соотношение, ставшее одним из основных законов гидродинамики^[4].

Даниил Бернулли - автор уравнения Бернулли, описывающее давление в движущейся жидкости.

Жан Лерон Даламбер в трактате «Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides» (1752) применил принцип, сводящий законы движения тел к законам их равновесия, и получил уравнения движения жидкости методом, отличным от подхода Бернулли^[5]. Метод Даламбера был усовершенствован Леонардом Эйлером, проведшим значительную часть научной жизни в Петербургской академии наук. В работах 1755–1757 годов «Principes généraux du mouvement des fluides» и «Principia motus fluidorum» Эйлер, используя аппарат частных производных, впервые в замкнутом виде выписал систему дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости, носящих ныне его имя^[6][7]. Учёт вязкости в уравнениях движения жидкости был завершён в XIX веке К. Л. Навье и Дж. Г. Стоксом — соответствующая система уравнений составляет основу современной гидродинамики^[1].

В XX веке фундаментальный вклад в развитие гидродинамики внесли отечественные учёные: Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин заложили основы аэродинамики крыла. Л. Прандтль и Н. Е. Кочин развили теорию пограничного слоя, а работы А. Н. Колмогорова, А. М. Обухова и Л. Д. Ландау сформировали современный облик теории турбулентности^[8].

В основе гидродинамики лежат законы сохранения массы, импульса и энергии, записанные для сплошной среды.

Уравнение неразрывности выражает сохранение массы:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )=0,}$

где ${\displaystyle \rho }$ — плотность, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — поле скорости. Для несжимаемой жидкости оно сводится к ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$^[1].

Уравнения Навье–Стокса выражают закон сохранения импульса для вязкой ньютоновской жидкости. Для несжимаемой жидкости постоянной вязкости они имеют вид:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {v} +\rho \mathbf {g} ,}$

где ${\displaystyle p}$ — давление, ${\displaystyle \mu }$ — динамическая вязкость, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ — плотность массовых сил (например, силы тяжести), ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа^[1][2]. Вместе с уравнением неразрывности они составляют замкнутую систему для полей ${\displaystyle \mathbf {v} }$ и ${\displaystyle p}$.

Отбрасывая в уравнениях Навье–Стокса вязкий член ${\displaystyle \mu \,\Delta \mathbf {v} }$, получают уравнения Эйлера движения идеальной (невязкой) жидкости, впервые выведенные Л. Эйлером в 1755–1757 годах^[6][7]. Уравнения Эйлера применимы при больших числах Рейнольдса вне тонких пограничных слоёв, где вязкими эффектами можно пренебречь.

Автор уравнения описывающего движение идеальной жидкости

Уравнение Бернулли является первым интегралом уравнений Эйлера для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\frac {p}{\rho }}=\mathrm {const} }$

вдоль линии тока; здесь ${\displaystyle h}$ — высота, ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения^[4][2].

Число Рейнольдса — безразмерный параметр, характеризующий отношение сил инерции к силам вязкости:

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho vL}{\mu }}={\frac {vL}{\nu }},}$

где ${\displaystyle L}$ — характерный размер, ${\displaystyle \nu =\mu /\rho }$ — кинематическая вязкость. Значение ${\displaystyle \mathrm {Re} }$ служит основным критерием подобия течений и определяет режим течения — ламинарный или турбулентный.

Гидродинамика содержит целый ряд открытых фундаментальных задач, часть из которых относится к числу центральных проблем современной математической физики^[19].

• Существование и гладкость решений уравнений Навье–Стокса. Вопрос о существовании при любых гладких начальных данных глобального по времени гладкого решения трёхмерных уравнений Навье–Стокса в отсутствие внешних сил остаётся открытым. Задача включена Институтом Клэя в число семи задач тысячелетия^[20].
• Проблема замыкания в теории турбулентности. При усреднении уравнений Навье–Стокса (уравнения Рейнольдса) возникают неизвестные корреляции пульсаций скоростей высших порядков; получить для них замкнутую систему уравнений исходя только из уравнений Навье- Стокса до сих пор не удаётся, в следствии чего используются полуэмпирические модели^[10][13].
• Предсказание перехода ламинарного течения в турбулентное. Определить критическое число Рейнольдса и структуру возникающих неустойчивостей аналитически можно лишь для узкого класса задач; общая теория ламинарно-турбулентного перехода и субкритических переходов (в частности, в круглой трубе) остаётся предметом активных исследований^[21].

Значительная часть современных научных исследований по этим направлениям ведётся в Центральном аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ), а также в институтах Российской академии наук — ИПМех РАН, ИТФ им. Л. Д. Ландау, ИГиЛ СО РАН, ИВМ им. Г. И. Марчука и других.