Прямой угол

В теории комплексных чисел умножение на мнимую единицу ${\displaystyle i}$ имеет наглядную геометрическую интерпретацию: оно соответствует повороту радиус-вектора числа на комплексной плоскости на прямой угол (${\displaystyle \pi /2}$) против часовой стрелки^[6]. Поскольку ${\displaystyle i^{2}=-1}$, двукратное умножение на ${\displaystyle i}$ даёт поворот на развёрнутый угол (180°), что алгебраически эквивалентно изменению знака числа. Таким образом, мнимая единица выступает в роли «оператора поворота на прямой угол».

В алгебре кватернионов, обобщающей комплексные числа на четырёхмерное пространство, понятие прямого угла сохраняется через ортогональность базисных мнимых единиц ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$. Они попарно перпендикулярны друг другу, что строго выражается правилами умножения Гамильтона (например, ${\displaystyle \mathbf {i} \mathbf {j} =\mathbf {k} }$, но ${\displaystyle \mathbf {j} \mathbf {i} =-\mathbf {k} }$)^[7]. Ортогональность двух векторных кватернионов определяется равенством нулю их скалярного произведения, что позволяет элегантно описывать трёхмерные и четырёхмерные вращения без использования громоздких матриц.

В функциональном анализе концепция прямого угла абстрагируется до понятия ортогональности функций. Две функции считаются ортогональными на заданном интервале, если их скалярное произведение (определённый интеграл от их произведения с весовой функцией) равно нулю^[8]. Классическим примером служит система тригонометрических функций ${\displaystyle \sin(nx)}$ и ${\displaystyle \cos(mx)}$, которые попарно ортогональны на интервале ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$. Эта «перпендикулярность» в бесконечномерных гильбертовых пространствах лежит в основе разложения функций в ряд Фурье, где каждая гармоника независима от других, подобно тому как координатные оси перпендикулярны в декартовой системе.

В теории графов существует понятие ортогональной укладки (рисования) графа. В таком представлении вершины графа располагаются в узлах прямоугольной сетки, а рёбра изображаются ломаными линиями, состоящими исключительно из горизонтальных и вертикальных отрезков^[9]. Все углы между сегментами рёбер в точках изгиба или примыкания к вершинам составляют строго прямой угол. Этот подход широко применяется в САПР при проектировании интегральных схем (где проводники располагаются под прямыми углами) и в картографии (например, при составлении схем метро), где соблюдение прямых углов улучшает читаемость.

В алгебраической геометрии и теории дифференциальных уравнений изучаются ортогональные траектории — семейства кривых, которые пересекают другое заданное семейство кривых под прямым углом в каждой точке пересечения^[10]. Например, семейство концентрических окружностей и семейство прямых, проходящих через их общий центр, являются взаимно ортогональными траекториями. Аналитически условие ортогональности требует, чтобы произведение угловых коэффициентов касательных к пересекающимся кривым в точке пересечения было равно ${\displaystyle -1}$ (или, в более общем многомерном случае, чтобы их векторы градиентов были ортогональны).

Прямоугольный треугольник обладает рядом специфических свойств, связанных с прямым углом

• В прямоугольном треугольнике один угол равен ${\displaystyle 90^{\circ }}$.
• Сумма двух острых углов равна ${\displaystyle 90^{\circ }}$:

${\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }}$.

• Гипотенуза больше любого из катетов.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В математической записи:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$,

где ${\displaystyle c}$ — длина гипотенузы, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — длины катетов.

Теорема Пифагора также может быть выражена как геометрический факт: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Обратная теорема также верна: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то этот треугольник прямоугольный^[11].

Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен ${\displaystyle 30^{\circ }}$, то катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы:

${\displaystyle a={\frac {c}{2}}}$

Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

${\displaystyle m={\frac {c}{2}}}$

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности находится в середине гипотенузы, а радиус равен:

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}}$

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}}$

Если из вершины прямого угла провести высоту ${\displaystyle h}$ к гипотенузе, то:

• она делит треугольник на два треугольника, подобных исходному;
• её длина выражается формулой:

${\displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$

Если гипотенуза разделена высотой на отрезки ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$, то:

${\displaystyle h^{2}=pq}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

${\displaystyle S={\frac {ab}{2}}}$

Для острого угла ${\displaystyle \alpha }$:

• синус:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}}}$

• косинус:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}}}$

• тангенс:

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}}}$

Если катеты равны, то прямоугольный треугольник является равнобедренным. В этом случае:

• острые углы равны:

${\displaystyle 45^{\circ }}$ и ${\displaystyle 45^{\circ }}$;

• гипотенуза выражается формулой:

${\displaystyle c=a{\sqrt {2}}}$

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух катетов и гипотенузы:

${\displaystyle P=a+b+c}$

Если ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ — проекции катетов на гипотенузу, то:

${\displaystyle a^{2}=cp}$

${\displaystyle b^{2}=cq}$

Прямой угол является основой декартовой системы координат: координатные оси (абсцисс и ординат) взаимно перпендикулярны, то есть образуют прямой угол. Это свойство позволяет задавать положение любой точки на плоскости двумя числами — координатами. Аналогично, в трёхмерном пространстве три координатные оси взаимно перпендикулярны^[1].