Уравнение сферы

В прямоугольной системе координат уравнение плоскости, проходящей через точку ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ и имеющей вектор нормали ${\displaystyle {\vec {n}}\{a;b;c\}}$, имеет вид ${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0}$.

Замечание. Это уравнение можно записать в виде ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$, где ${\displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})}$.

Расстояние ${\displaystyle p}$ от точки ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$ до плоскости, заданной уравнением ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$, выражается формулой ${\displaystyle p={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$^[4].

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ${\displaystyle C(x_{0},y_{0},z_{0})}$:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi ,\\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ и ${\displaystyle \phi \in [0,2\pi )}$.

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ:

Аналитическое уравнение сферы может стать мощным инструментом для решения сложных задач из второй части экзаменационной работы.

Задача с параметром.

В задачах этого типа встречаются системы уравнений или неравенств. Если в условии присутствует выражение вида ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}}$, то это указывает на сферу в трёхмерном пространстве (для систем с тремя переменными). Графический метод решения таких задач с параметром основывается именно на взаимном расположении сферы и других геометрических объектов (плоскостей, прямых).

📐 Условие:

Найдите все значения параметра ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений имеет ровно одно решение:

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,\\x+y+z=a.\end{cases}}}$

Решение (геометрический метод):

1. Первое уравнение системы ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=9}$ — это уравнение сферы с центром в начале координат ${\displaystyle O(0;0;0)}$ и радиусом ${\displaystyle R=3}$.

2. Второе уравнение системы ${\displaystyle x+y+z=a}$ задаёт семейство параллельных плоскостей в трёхмерном пространстве.

3. Система имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют ровно одну общую точку, то есть когда плоскость касается сферы.

4. Условие касания сферы радиуса ${\displaystyle R=3}$ с центром в начале координат плоскостью ${\displaystyle x+y+z=a}$ выражается через расстояние от центра сферы ${\displaystyle O(0;0;0)}$ до плоскости: ${\displaystyle d={\frac {|{}1\cdot 0+1\cdot 0+1\cdot 0-a|{}}{\sqrt {1^{2}+1^{2}+1^{2}}}}={\frac {|{}-a|{}}{\sqrt {3}}}={\frac {|{}a|{}}{\sqrt {3}}}}$.

5. Приравняем расстояние к радиусу и решим уравнение относительно параметра ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle {\frac {|{}a|{}}{\sqrt {3}}}=3}$

${\displaystyle {\frac {|{}a|{}}{\sqrt {3}}}=3\implies |{}a|{}=3{\sqrt {3}}\implies a=\pm 3{\sqrt {3}}}$.

Ответ: ${\displaystyle -3{\sqrt {3}},3{\sqrt {3}}}$.

Важно:

• Проверять знак радиуса. В уравнении сферы справа стоит ${\displaystyle R^{2}}$. Если в процессе решения получается выражение вида ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=a-5}$, обязательно пиши ограничение: сфера существует только при ${\displaystyle a-5>0}$. Если правая часть равна ${\displaystyle 0}$, то сфера «вырождается» в точку. Если меньше нуля — решений нет.
• Не путать сферу и шар. Если стоит знак равенства (${\displaystyle =}$) — это сфера (только «оболочка», пустая внутри). Если стоит знак меньше или равно (${\displaystyle \leq }$) — это шар (внутренность вместе с границей).