Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².
Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:[1]
где Γ — это эйлеровскаягамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:
Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:
.
Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:
Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности (при условии, что они имеют одинаковый радиус):
.
Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:
Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.
При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.