Кольцо (геометрия)

Ещё в древнеегипетском математическом папирусе Ринда (ок. 1650 г. до н. э.) встречаются приближённые вычисления площадей круговых фигур, из которых можно вывести оценку площади кольцевых участков земли^[4]. Однако строгое математическое обоснование было дано в Древней Греции. В XII книге «Начал» Евклид доказывает методом исчерпывания (восходящим к Евдоксу), что площади кругов относятся как квадраты диаметров^[2][5]. Фундаментальный шаг сделал Архимед: в трактате «Измерение круга» он доказал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника с катетами, равными длине окружности и радиусу. Вычитая из большого такого треугольника малый, он неявно получил формулу площади кольца как разности площадей двух кругов^[6]. Для древних вычислителей кольцо также было естественной фигурой: кольцевые «зоны» и эпициклы встречаются в астрономических конструкциях Гиппарха и Птолемея.

В средние века и эпоху Возрождения вычисления, связанные с кольцами, использовались в задачах астрономии и механики. Исламские математики, такие как ал-Каши, использовали уточнённые значения числа ${\displaystyle \pi }$ для расчёта площадей кольцевых астрономических инструментов (например, армиллярных сфер). В XVII веке, до создания строгого математического анализа, Иоганн Кеплер и Бонавентура Кавальери использовали метод неделимых: Кеплер рассматривал круг как сумму бесконечно тонких концентрических колец, а принцип Кавальери заложил фундамент для понимания того, что площадь эксцентрического кольца или объём «салфеточного кольца» не зависят от смещения центра^[7][8].

Теорема об объёме и площади поверхности тела вращения, порождаемого кольцом, впервые в геометрической форме была сформулирована в VII книге «Математического собрания» Паппа Александрийского (около 340 года)^[9]. Она была переоткрыта и строго доказана с использованием понятия центра тяжести Паулем Гульдином в многотомном сочинении «De centro gravitatis» (1635—1642)^[10], откуда и произошло современное название «теорема Паппа — Гульдина».

Задачи о кольцах, в частности о вписанных в них цепочках взаимно касающихся окружностей (позже обобщённых как цепочки Штейнера), активно решались в японской храмовой математике (сангаку) эпохи Эдо. На деревянных табличках часто изображались сложные конфигурации, где требовалось найти радиусы окружностей, вписанных в заданное кольцо, или доказать свойство касающейся хорды; многочисленные примеры таких задач собраны в книге Фукагавы и Ротмана^[11].

Строгая теория кольца как области комплексной переменной оформилась в XIX—XX веках. После создания Бернхардом Риманом основ теории конформных отображений стало ясно, что знаменитая теорема Римана о конформном отображении на единичный круг не работает для многосвязных областей. Оказалось, что любая двусвязная область конформно эквивалентна некоторому каноническому кольцу, а отношение его радиусов (или, точнее, логарифм этого отношения — конформный модуль) является единственным инвариантом такой области. Эти результаты были строго обоснованы в работах П. Кёбе и К. Каратеодори и изложены в классических курсах теории функций^[3][12].

В 1959 году Мамикон Мнаканян разработал метод «визуального исчисления» (теорема Мамикона), позволяющий доказать формулу площади кольца через площадь касательного сегмента без использования теоремы Пифагора или интегралов^[13][14]. Задача о «салфеточном кольце», парадоксальная зависимость объёма которого только от высоты цилиндрического отверстия, была широко популяризирована Мартином Гарднером в его колонке в журнале Scientific American в 1960-х годах, став классическим примером геометрической интуиции^[15].

Кольцо образуют внешняя окружность радиуса ${\displaystyle R}$ и внутренняя окружность радиуса ${\displaystyle r}$, имеющие один и тот же центр:

${\displaystyle A=\{\,(x,y):\ r^{2}\leq x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\,\}}$

(замкнутое кольцо; заменяя нестрогие неравенства на строгие, получают открытое кольцо). Внутренняя и внешняя окружности называются границей кольца, число ${\displaystyle w=R-r}$ — его шириной, а ${\displaystyle \rho =(R+r)/2}$ — средним радиусом^[2].

Иногда кольцом называют также область между неконцентрическими окружностями; такая фигура называется эксцентрическим кольцом. Примечательно, что его площадь также равна ${\displaystyle \pi (R^{2}-r^{2})}$ и не зависит от смещения центров (что следует из принципа Кавальери). Также термином «кольцо» иногда обозначают «кольцевой сектор» — часть кольца, ограниченную двумя радиусами^[16].

• Площадь: ${\displaystyle S=\pi (R^{2}-r^{2})}$. Естественный вывод получается в полярных координатах: ${\displaystyle S=\int _{0}^{2\pi }\int _{r}^{R}\rho \,d\rho \,d\theta =\pi (R^{2}-r^{2})}$. Формулу также можно записать как ${\displaystyle S=2\pi \rho \,w}$ — произведение длины средней окружности на ширину (см. рисунок)^[2].
• Периметр (сумма длин обеих граничных окружностей): ${\displaystyle L=2\pi (R+r)=4\pi \rho }$.
• Ширина и средний радиус: ${\displaystyle w=R-r}$, ${\displaystyle \rho =(R+r)/2}$; через них радиусы выражаются как ${\displaystyle R=\rho +w/2}$, ${\displaystyle r=\rho -w/2}$.
• Момент инерции однородного кольца массы ${\displaystyle m}$ относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через центр: ${\displaystyle I={\tfrac {m}{2}}(R^{2}+r^{2})}$^[17].

• Симметрия. Кольцо переходит в себя при любом повороте вокруг центра и при любом отражении относительно прямой, проходящей через центр; его непрерывная группа симметрий — ${\displaystyle O(2)}$.
• Невыпуклость. Кольцо не является выпуклым множеством: отрезок, соединяющий две точки на противоположных сторонах внешней границы, проходит через центральную область, не принадлежащую фигуре.
• Топология. Кольцо гомеоморфно прямому цилиндру ${\displaystyle S^{1}\times (0,1)}$; это простейшая (после круга) связная, но не односвязная область плоскости: её фундаментальная группа изоморфна группе ${\displaystyle \mathbb {Z} }$^[3].
• Хорда, касающаяся внутренней окружности. Если хорда внешней окружности длины ${\displaystyle 2a}$ касается внутренней окружности, то по теореме Пифагора ${\displaystyle a^{2}=R^{2}-r^{2}}$. Следовательно, площадь кольца выражается только через длину этой хорды: ${\displaystyle S=\pi a^{2}}$. Это означает, что площадь кольца равна площади круга, построенного на половине такой хорды как на радиусе, и не зависит от конкретных значений ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$. Это свойство лежит в основе визуальных доказательств теоремы Мамикона^[11].
• Трёхмерный аналог (задача о салфеточном кольце). Свойство касающейся хорды имеет трёхмерный аналог в стереометрии. Если из шара радиуса ${\displaystyle R}$ просверлить цилиндрическое отверстие радиуса ${\displaystyle r}$ так, чтобы ось цилиндра проходила через центр шара, то объём оставшегося тела («салфеточного кольца») зависит только от высоты ${\displaystyle h}$ этого кольца и равен ${\displaystyle V={\frac {\pi h^{3}}{6}}}$. Он совершенно не зависит от исходного радиуса шара ${\displaystyle R}$, что является прямым трёхмерным следствием двумерного свойства ${\displaystyle S=\pi a^{2}}$ и принципа Кавальери^[11].
• Инверсия. При инверсии относительно любой окружности с центром в центре кольца, само кольцо переходит в кольцо с тем же самым отношением радиусов ${\displaystyle R/r}$, что делает это отношение конформным и инверсионным инвариантом^[18].

Комплексная структура делает кольцо канонической областью: логарифм ${\displaystyle w=\ln z}$ отображает кольцо ${\displaystyle r<|z|<R}$ на прямоугольник ${\displaystyle [\ln r,\ \ln R]\times (-\pi ,\pi ]}$ в плоскости ${\displaystyle w}$, у которого горизонтальные стороны (${\displaystyle \operatorname {Im} w=\pi }$ и ${\displaystyle \operatorname {Im} w=-\pi }$) отождествлены, что топологически соответствует цилиндру^[3].

Величина

${\displaystyle \mathrm {mod} \,A={\frac {1}{2\pi }}\ln {\frac {R}{r}}}$

называется модулем кольца и является его полным конформным инвариантом: два кольца конформно эквивалентны тогда и только тогда, когда отношения их радиусов совпадают^[3][12].

Кольцо также является канонической областью для решения задачи Дирихле для гармонических функций. Гармоническая функция на кольце с постоянными граничными значениями ${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle u_{2}}$ на внутренней и внешней границах имеет логарифмический вид:

${\displaystyle u(\rho )=u_{1}+(u_{2}-u_{1}){\frac {\ln(\rho /r)}{\ln(R/r)}}}$.

Величина, обратная модулю (с точностью до множителя ${\displaystyle 2\pi }$), называется конформной ёмкостью кольца и играет ключевую роль в теории квазиконформных отображений^[12].

1. Численный пример. При ${\displaystyle R=5}$, ${\displaystyle r=3}$ площадь ${\displaystyle S=\pi (25-9)=16\pi \approx 50{,}27}$; касающаяся внутренней окружности хорда имеет длину ${\displaystyle 2a=2{\sqrt {25-9}}=8}$, и ${\displaystyle \pi a^{2}=16\pi }$ — та же величина.
2. Узкое кольцо. Кольцо с ${\displaystyle R=10{,}1}$, ${\displaystyle r=9{,}9}$ и шириной ${\displaystyle w=0{,}2}$ имеет площадь ${\displaystyle 2\pi \cdot 10\cdot 0{,}2=4\pi \approx 12{,}57}$, что наглядно демонстрирует работу формулы «развёрнутой» полосы длиной ${\displaystyle 2\pi \rho }$.
3. Момент инерции. Однородное кольцо единичной массы с ${\displaystyle R=5}$, ${\displaystyle r=3}$ имеет момент инерции ${\displaystyle I={\tfrac {R^{2}+r^{2}}{2}}={\tfrac {25+9}{2}}=17}$. Для сравнения: сплошной диск той же массы и того же внешнего радиуса имеет ${\displaystyle I={\tfrac {R^{2}}{2}}=12{,}5}$. Значение для кольца ближе к предельному ${\displaystyle R^{2}=25}$ (момент инерции тонкого обруча), поскольку масса кольца сосредоточена вдали от центра — в слое между ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle R}$.
4. Тело вращения. Вращение кольца с ${\displaystyle S=16\pi }$ вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии ${\displaystyle d=10}$ от центра, даёт по теореме Паппа — Гульдина тело (тор) объёма ${\displaystyle V=2\pi d\,S=320\pi ^{2}\approx 3158}$^[19][20].
5. Коаксиальный кабель. Ёмкость на единицу длины кабеля с радиусами жилы ${\displaystyle a}$ и оболочки ${\displaystyle b}$ равна ${\displaystyle C=2\pi \varepsilon /\ln(b/a)}$; при ${\displaystyle b/a=3{,}3}$ и полиэтиленовом диэлектрике (${\displaystyle \varepsilon \approx 2{,}3\,\varepsilon _{0}}$) получается ${\displaystyle C\approx 100}$ пФ/м^[21].

• Машиностроение. Шайбы, втулки, подшипники, фланцы и прокладки имеют форму кольца. Кольцевое сечение при заданной массе материала даёт больший момент сопротивления кручению и изгибу, чем сплошной круг, чем активно пользуются при проектировании валов и труб^[17].
• Оптика. Кольцевая апертура — это рабочая часть зеркала зеркальных телескопов-рефлекторов с центральным экранированием; кольцевые диафрагмы применяются для управления дифракционной картиной^[22].
• Электротехника. Поперечное сечение коаксиального кабеля представляет собой пару проводящих колец; его погонные ёмкость и индуктивность выражаются через ${\displaystyle \ln(b/a)}$, что напрямую связано с модулем кольца^[23].
• Механика. Момент инерции кольца и кольцевых сечений — базовая величина в расчётах вращения маховиков, ободов колёс и роторов^[17].
• Гидродинамика. Течение вязкой жидкости в зазоре между двумя вращающимися концентрическими цилиндрами (то есть в трёхмерном кольцевом сечении) известно как течение Тейлора — Куэтта. При превышении критического числа Рейнольдса ламинарное течение в этом кольце теряет устойчивость, порождая знаменитые вихри Тейлора, что является классической моделью перехода к турбулентности^[24].
• Стереометрия. Вращение кольца вокруг внешней оси порождает торообразные оболочки (бублики); их объём и площадь поверхности эффективно вычисляются по теореме Паппа — Гульдина^[25].

Понятие кольца естественным образом обобщается на ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ${\displaystyle n}$-мерным кольцом (или сферическим слоем) называется область, заключённая между двумя концентрическими ${\displaystyle (n-1)}$-мерными сферами радиусов ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle R}$.

Объём ${\displaystyle V_{n}}$ такого ${\displaystyle n}$-мерного кольца выражается через объёмы ${\displaystyle n}$-мерных шаров:

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}(R^{n}-r^{n})}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция. При ${\displaystyle n=2}$ эта формула переходит в классическую формулу площади плоского кольца, а при ${\displaystyle n=3}$ описывает объём сферического слоя.