Диаметр

Греческое слово «διάμετρος» означает «поперечник». У древнегреческих математиков слово употреблялось и со значением «диагональ»; им были известны диаметры конических сечений, эллипсоида вращения^[1].

Диаметр окружности (круга) — это хорда, проходящая через центр окружности. Также диаметром называют длину этой хорды. Длину диаметра принято обозначать символом ${\displaystyle \varnothing }$^[2]. Диаметр вдвое больше радиуса окружности: ${\displaystyle D=2R,}$ он делит окружность на две равные части и поэтому является её осью симметрии. Диаметр больше любой другой хорды.

Окружность (C), её центр (O), радиус (R) и диаметр (D)

Понятие диаметра окружности как длины отрезка распространяется на другие геометрические фигуры и на множества более общей природы. Именно диаметр фигуры (или множества в метрическом пространстве) называется верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек этой фигуры (множества). В этом смысле диаметр эллипса равен длине большой оси, а диаметр квадрата равен длине его диагонали^[3].

Линиями второго порядка являются эллипс (в частности, окружность), гипербола и парабола, то есть во всякой системе декартовых координат представляются уравнениями второй степени: ${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0}$.

Теорема. Всякая линия второго порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпавших). Диаметр линии второго порядка — прямая, проходящая через середины параллельных хорд этой линии. Для центральных линий (эллипса, гиперболы) диаметры проходят через центр кривой. У нецентральных линий второго порядка диаметры параллельны или совпадают^[4].

Эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями, так как их можно получить на поверхности круглого конуса в пересечении с плоскостью, не проходящей через вершину конуса. При этом поверхность конуса считается неограниченно продолженной в обе стороны от вершины.

1. Если плоскость параллельна только одной из образующих конуса, то коническое сечение есть парабола.
2. Если плоскость не параллельна ни одной образующей конуса, то коническое сечение есть эллипс.
3. Если плоскость параллельна двум образующим конуса, то коническое сечение есть гипербола.
   

   Три основных конических сечения: 1. парабола, 2. эллипс, 3. гипербола.

Середины параллельных хорд всякого конического сечения лежат на одной прямой; эта прямая называется диаметром конического сечения. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой диаметр (сопряжённый с данным направлением).

На рисунке 1 изображён один из диаметров ${\displaystyle U'U}$ эллипса. На нём лежат середины ${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3},...,K_{n}}$ параллельных хорд ${\displaystyle M_{1}M_{1}',...,M_{n}M_{n}'}$. Геометрическое место этих середин есть отрезок ${\displaystyle L'L}$ диаметра ${\displaystyle U'U}$.

Рис. 1

В элементарной геометрии диаметром окружности называется отрезок (наибольшая хорда). В аналитической геометрии слово «диаметр» иногда тоже употребляется для обозначения отрезка ${\displaystyle L'L}$. Но чаще этим словом называют всю прямую ${\displaystyle U'U}$^[5].

Все диаметры эллипса проходят через его центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным малой оси, есть большая ось (Рис. 2). Диаметр, соответствующий хордам, параллельным большой оси, есть малая ось.

Рис. 2

Геометрическим местом середин хорд, параллельных одному из диаметров эллипса, снова является диаметр, который называется сопряжённым заданному. Диаметры, каждый из которых делит пополам хорды, параллельные другому, называются взаимно сопряжёнными. Если ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle k_{1}}$ — угловые коэффициенты двух сопряжённых диаметров, то верно соотношение ${\displaystyle k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$, где ${\displaystyle \varepsilon }$ — эксцентриситет, ${\displaystyle a,b}$ — полуоси эллипса.

Два диаметра, сопряжённых друг с другом и вместе с тем взаимно перпендикулярных, называются главными диаметрами. У окружности всякий диаметр — главный. У эллипса, отличного от окружности, есть лишь одна пара главных диаметров — большая и малая оси.

Угловые коэффициенты неглавных сопряжённых направлений имеют противоположные знаки, то есть два сопряжённых диаметра эллипса принадлежат различным парам вертикальных углов, образуемых осями. При вращении диаметра сопряжённый ему диаметр вращается в ту же сторону.

Теорема Аполлония

Если длины двух сопряжённых диаметров равны ${\displaystyle 2a_{1}}$ и ${\displaystyle 2b_{1}}$, а ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — острые углы между диаметрами и большой осью (${\displaystyle k=-\operatorname {tg} \alpha ,k_{1}=\operatorname {tg} \beta }$), то верны равенства: ${\displaystyle a_{1}b_{1}\sin(\alpha +\beta )=ab}$, ${\displaystyle a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}}$^[6].

Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось: геометрическое место середин хорд есть пара лучей ${\displaystyle A'X'}$ и ${\displaystyle AX}$ (Рис. 3).

Рис. 3

Диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось: середины хорд заполняют ось ${\displaystyle Y'Y}$ целиком (Рис. 4).

Рис. 4

Для гиперболы угловой коэффициент ${\displaystyle k}$ параллельных хорд (${\displaystyle k\neq 0}$) и угловой коэффициент ${\displaystyle k_{1}}$ соответствующего диаметра связаны соотношением

${\displaystyle k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1={\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$.

Если первый диаметр делит пополам хорды, параллельные второму диаметру, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие диаметры называются взаимно сопряжёнными.

У всякой гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси. Главными диаметрами называются взаимно сопряжённые и взаимно перпендикулярные диаметры.

Если длины сопряжённых диаметров равны ${\displaystyle 2a_{1}}$ и ${\displaystyle 2b_{1}}$, а ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — острые углы, образованные этими диаметрами с действительной осью (${\displaystyle \alpha >\beta }$), то верны равенства: ${\displaystyle a_{1}^{2}-b_{1}^{2}=a^{2}-b^{2}}$, ${\displaystyle ab=a_{1}b_{1}\sin(\alpha -\beta )}$^[7].

Замечание. Угловой коэффициент параллельных хорд не может по абсолютному значению равняться ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$, так как прямые ${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$ являются асимптотами гиперболы, а прямые, параллельные асимптоте, пересекают гиперболу лишь в одной точке. Об асимптоте говорят, что она является диаметром, сопряжённым самому себе. Это выражение условно, так как асимптота не является диаметром. Кроме асимптот, всякая другая прямая, проходящая через центр гиперболы, является одним из её диаметров.

Угловые коэффициенты неглавных сопряжённых направлений имеют одинаковые знаки, то есть. два сопряжённых диаметра гиперболы принадлежат одной и той же паре вертикальных углов, образованных осями. Напротив, по отношению к асимптотам два сопряжённых диаметра принадлежат различным парам вертикальных углов.

Диаметры параболы

Все диаметры параболы параллельны её оси: геометрическое место середин параллельных хорд параболы есть луч ${\displaystyle LU}$ (Рис. 5). Диаметр, соответствующий хордам, перпендикулярным оси параболы, есть сама ось.

Рис. 5

Диаметр параболы ${\displaystyle y^{2}=2px}$ (где ${\displaystyle p}$ — длина фокальной полухорды), соответствующий хордам с угловым коэффициентом ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle k\neq 0}$), представляется уравнением: ${\displaystyle y={\frac {p}{x}}}$. Таким образом, чем больше наклон хорды к оси, тем диаметр дальше от оси. Угловой коэффициент всякого диаметра параболы равен нулю, то есть удовлетворяет уравнению: ${\displaystyle k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1}$, где эксцентриситет параболы ${\displaystyle \varepsilon =1}$.

Все прямые, параллельные какому-либо диаметру параболы, пересекают параболу только в одной точке. Поэтому взаимно сопряжённых диаметров у параболы нет^[8].

• Для любой поверхности второго порядка геометрическим местом середин параллельных хорд служит плоскость, которая называется диаметральной плоскостью поверхности, сопряжённой этим хордам (или направлению этих хорд).
• Прямая, по которой пересекаются две диаметральные плоскости, называется диаметром, сопряжённым семейству плоскостей, параллельных сопряжённым хордам этих диаметральных плоскостей. С другой стороны, диаметр является геометрическим местом центров кривых второго порядка, по которым пересекают поверхность параллельные между собой плоскости семейства.
• Эквивалентное определение: диаметр поверхности второго порядка есть прямая, полярно сопряжённая бесконечно удалённой прямой пространства.
• Три диаметра центральной поверхности второго порядка называются сопряжёнными диаметрами, если каждый из них сопряжён плоскости двух других диаметров.
• Диаметр, являющийся линией пересечения двух главных плоскостей, называется главной осью поверхности и является её осью симметрии^[9].

Диаметр множества ${\displaystyle E}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle C}$, в частности, в евклидовом пространстве, понимается точная верхняя грань расстояний между парой любых его точек^[4].

• В частности:
  • Диаметр графа — это максимальное из расстояний между парами его вершин. Расстояние между вершинами определяется как наименьшее число рёбер, которые необходимо пройти, чтобы добраться из одной вершины в другую. Иначе говоря, это расстояние измеренное в количестве рёбер между двумя вершинами графа, максимально удалёнными друг от друга.
  • Диаметр геометрической фигуры — максимальное расстояние между точками этой фигуры.

Символ диаметра ${\displaystyle \varnothing }$ представлен в Юникоде (U+2300 ⌀ diameter sign) и, хотя он отсутствует в стандартных раскладках клавиатуры, может быть введён с клавиатуры:

• в HTML как ⌀ или ⌀
• в LaTeX для его отображения предназначена команда \diameter из пакета wasysym
• в Microsoft Word символ можно получить, введя 2300 и нажав Alt+X
• в Windows с помощью Alt-кода Alt+8960 (в английской раскладке)
• в системах, использующих X Window System (Unix/Linux/ChromeOS и др.), с помощью комбинации Ctrl+⇧ Shift+u 2300Пробел или с использованием клавиши Compose, нажав поочерёдно Composedi.

Также, символ можно найти и скопировать в приложениях и инструментах типа «таблица символов», например:

• в Windows — Таблица символов
• в программах из пакета Microsoft Office — меню «Вставка» → «Символ…»
• в macOS — Character Palette/Viewer (вызывается комбинацией ⌥ Opt+⌘ Cmd+T)
• в GNOME — Таблица символов GNOME (ранее — gucharmap).