Средняя линия

• Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине.
• Средняя линия отсекает от исходного треугольника треугольник, подобный и гомотетичный ему с коэффициентом 1/2. Площадь этого малого треугольника равна одной четвёртой площади исходного.
• Три средние линии делят любой исходный треугольник на четыре треугольника, равных между собой (конгруэнтных). Центральный из этих треугольников называется серединным (или дополнительным).
• Проекции любой вершины треугольника на внутреннюю и внешнюю биссектрисы двух других его углов лежат на одной прямой (являются коллинеарными). Эта прямая содержит среднюю линию треугольника, параллельную стороне, соединяющей вершины упомянутых углов.

• Если отрезок соединяет середину одной стороны треугольника с точкой на второй стороне и параллелен третьей стороне, то он является средней линией (при этом он автоматически делит вторую сторону пополам).
• Если отрезок соединяет середины двух сторон треугольника, то он является средней линией.

Точка пересечения средних линий четырёхугольника называется центроидом этого четырёхугольника.

Вектор центроида ${\displaystyle G}$ имеет выражение:

${\displaystyle {\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{4}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}).}$ (1)

При совпадении точек ${\displaystyle O}$ и ${\displaystyle G}$ будем иметь:

${\displaystyle {\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}+{\overrightarrow {GD}}={\vec {0}}.}$^[10].

Выведем формулу для скалярного произведения произвольных векторов ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}$. Пользуясь теоремой косинусов, находим:

${\displaystyle 2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CD}}=2{\overrightarrow {AB}}({\overrightarrow {AD}}-{\overrightarrow {AC}})=}$

${\displaystyle =2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AD}}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}-AB^{2}-AC^{2}+BC^{2}.}$

Итак,

${\displaystyle 2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CD}}=AD^{2}+BC^{2}-BD^{2}-AC^{2}.\qquad (2)}$

Отсюда следует:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\perp {\overrightarrow {CD}}\Leftrightarrow AD^{2}+BC^{2}=AC^{2}+BD^{2},}$

${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}\perp {\overrightarrow {BD}}\Leftrightarrow AD^{2}+BC^{2}=AB^{2}+CD^{2}.\qquad (3)}$

Таким образом, две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Введём постоянные обозначения: ${\displaystyle AB=a}$, ${\displaystyle BC=b}$, ${\displaystyle CD=c}$, ${\displaystyle DA=d}$, ${\displaystyle AC=e}$, ${\displaystyle BD=f}$. Запишем два представления вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {MN}}}$: ${\displaystyle {\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {DN}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CN}}}$. Складывая их и учитывая, что ${\displaystyle {\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {MB}}={\vec {0}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {DN}}+{\overrightarrow {CN}}={\vec {0}}}$, получим:

${\displaystyle 2{\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {BC}}.\qquad (4)}$

Аналогично ${\displaystyle 2{\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {CD}}}$ и ${\displaystyle 2{\overrightarrow {EF}}={\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {CB}}}$.

Далее находим, руководствуясь формулой (2):

${\displaystyle 4MN^{2}=AD^{2}+BC^{2}+2{\overrightarrow {AD}}\cdot {\overrightarrow {BC}}=}$

${\displaystyle =AD^{2}+BC^{2}+AC^{2}+BD^{2}-AB^{2}-DC^{2}.}$

Итак, ${\displaystyle MN^{2}={\frac {1}{4}}(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2})}$. Аналогично

${\displaystyle PQ^{2}={\frac {1}{4}}(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2}),}$

${\displaystyle EF^{2}={\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}).\qquad (5)}$

Последнюю из этих формул называют формулой Эйлера.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Если четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ — параллелограмм, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому середины ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ диагоналей совпадают и ${\displaystyle EF=0}$. Подставляя это в третью формулу (5), получаем

1. ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2},\qquad (6)}$

1. то есть сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

2. Если четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ — Трапеция с основаниями ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$, то (2) принимает вид: ${\displaystyle -2ac=d^{2}+b^{2}-e^{2}-f^{2}}$, откуда ${\displaystyle e^{2}+f^{2}=b^{2}+d^{2}+2ac}$ и поэтому

   ${\displaystyle PQ^{2}={\frac {1}{4}}(a^{2}+c^{2}+2ac),\quad PQ={\frac {1}{2}}(a+c),}$

   ${\displaystyle EF^{2}={\frac {1}{4}}(a^{2}+c^{2}-2ac),\quad EF={\frac {1}{2}}|a-c|.}$

3. Треугольник можно рассматривать как вырожденный четырёхугольник с двумя совпавшими вершинами. Скажем, если точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ совпадают, то середина ${\displaystyle N}$ отрезка ${\displaystyle CD}$ совпадает с ними. Средняя линия ${\displaystyle MN}$ четырёхугольника становится медианой треугольника ${\displaystyle ABC}$, а средняя линия ${\displaystyle PQ}$ совпадает с ${\displaystyle EF}$ и будет средней линией треугольника ${\displaystyle ABC}$. Тогда ${\displaystyle e=d}$, ${\displaystyle b=f}$, ${\displaystyle c=0}$, поэтому из первой формулы (5) получаем формулу длины медианы треугольника

   ${\displaystyle MN^{2}={\frac {1}{4}}(2b^{2}+2d^{2}-a^{2}),}$

   а вторая и третья формулы дают:

   ${\displaystyle PQ=EF={\frac {1}{2}}a.\qquad (7)}$

Из формул (5) вытекают ещё и такие следствия:

1. Выполнено равенство

   ${\displaystyle MN^{2}+PQ^{2}+EF^{2}={\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}).\qquad (8)}$

2. Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
3. Расстояние между серединами диагоналей четырёхугольника равно длине его средней линии тогда и только тогда, когда сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов противоположных сторон, содержащих концы этой средней линии^[11].

• Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы длин тех двух сторон, которые она не соединяет, или равна ей. Равенство достигается только в том случае, если эти две стороны параллельны.
• Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (параллелограмма Вариньона). Площадь этого параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника.
• Стороны параллелограмма Вариньона параллельны диагоналям исходного четырёхугольника и равны их половинам.
• Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой. Кроме того, она делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей четырёхугольника, и является центроидом системы из четырёх вершин.
• Вектор средней линии четырёхугольника равен полусумме векторов двух других его сторон (тех, которые данная средняя линия не соединяет), при условии их согласованного направления обхода контура.
• Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями, то диагонали этого четырёхугольника равны.

• Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
• Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
• Средняя линия разбивает трапецию на две меньшие трапеции, площади которых соотносятся по определённому правилу (отношение зависит от длин оснований).
• Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции (в частности, её диагонали).