Ромб

• Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
• Высоты в ромбе равны между собой.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
• Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
• Середины четырёх сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
• Диагонали ромба являются осями его симметрии.
• В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
• Диагонали ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ ромба выражаются через сторону ромба ${\displaystyle a}$ и угол ${\displaystyle \alpha }$ между двумя смежными сторонами ромба как

${\displaystyle p=({\sqrt {1+\sin \alpha }}-{\sqrt {1-\sin \alpha }})a=2a\sin {\frac {\alpha }{2}}}$;

${\displaystyle q=({\sqrt {1+\sin \alpha }}+{\sqrt {1-\sin \alpha }})a=2a\cos {\frac {\alpha }{2}}}$.

Самое общее определение: ромб — это выпуклый четырёхугольник^[2], все стороны которого равны друг другу. Можно показать, что такой четырёхугольник является параллелограммом^[3][1].

Параллелограмм ${\displaystyle ABCD}$ является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий^[4]:

• Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны).
• Его диагонали пересекаются под прямым углом.
• Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам. Другими словами, диагональ является биссектрисой противоположных углов.
• Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных между собой треугольника.
• Диагонали параллелограмма являются осями симметрии^[5].

Помимо всего, ромб можно рассматривать как частный случай дельтоида, у которого любые две смежные стороны равны между собой.

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов^[6][7].

Уравнение ромба с центром в точке ${\displaystyle \{x_{0},y_{0}\}}$ и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде^[8]:

${\displaystyle {\frac {|x-x_{0}|}{a}}+{\frac {|y-y_{0}|}{b}}=1,}$

где ${\displaystyle a,b}$ — половины длин диагоналей ромба по осям ${\displaystyle X,Y}$ соответственно.

Длина стороны ромба равна ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$ Площадь ромба равна ${\displaystyle 2ab.}$ Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

${\displaystyle 2\operatorname {arctg} {\frac {b}{a}}}$

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

${\displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=a,}$

где сторона квадрата равна ${\displaystyle a{\sqrt {2}},}$ а его диагональ равна ${\displaystyle 2a.}$ Соответственно площадь квадрата равна ${\displaystyle 2a^{2}.}$

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать^[8] как суперэллипс степени 1.

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

${\displaystyle S={\dfrac {AC\cdot BD}{2}}}$

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

${\displaystyle S=a\cdot h}$

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

${\displaystyle S=a^{2}\cdot \sin \alpha }$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle S={\dfrac {4r^{2}}{\sin \alpha }};}$

• Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса вписанной окружности:

${\displaystyle S=2ar.}$

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде^[9]:

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.}$

Ромб является простой геральдической фигурой.

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

См. другие примеры на Викискладе.