Сферический сегмент

Если радиус основания сегмента равен ${\displaystyle a}$, высота сегмента равна ${\displaystyle h}$, тогда объём шарового сегмента равен ^[2]

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),}$

площадь поверхности сегмента равна

${\displaystyle A=2\pi rh}$

или

${\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta ).}$

Параметры ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle r}$ связаны соотношениями

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},}$

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.}$

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).}$

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) ${\displaystyle h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2}}},}$ в нижней части сферы ${\displaystyle h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2}}},}$ следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение ${\displaystyle a={\sqrt {h(2r-h)}}}$ и можно привести другое выражение для объёма:

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).}$

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

${\displaystyle V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3}}r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\cos \theta +2)(\cos \theta -1)^{2}.}$

Объём объединения двух сфер радиусов r₁ и r₂ равен ^[3]

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}}$,

где

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r₁ + r₂ — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h₁ и h₂ приводит к выражению ^[4][5]

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right).}$

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ₁ и φ₂ данная площадь равна ^[6]

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \varphi _{1}-\sin \varphi _{2}|.}$

Участок, вырезанный на сфере радиуса r четырьмя дугами больших кругов, имеющими одинаковую угловую длину θ и попарно перпендикулярными (сферический квадрат, аналог квадрата на плоскости), имеет площадь

${\displaystyle A=8r^{2}(1-\cos \theta /2).}$

Если угол θ мал (по сравнению с 1 радианом), то справедливо приближённое равенство, основывающееся на приближении ${\displaystyle \cos x\to 1-x^{2}/2}$ при ${\displaystyle x\to 0:}$

${\displaystyle A\approx 8r^{2}{\frac {\theta ^{2}}{8}}=r^{2}\theta ^{2}.}$

Например, площадь квадратного участка поверхности Земли (R_⊕ = 6378 км) со сторонами, равными 1 градусу, составляет

${\displaystyle A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^{2}(1-\cos 0{,}5^{\circ })\approx R_{\oplus }^{2}\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\right)^{2}\approx 12\,391\,{\text{км}}^{2}.}$

1 квадратная секунда поверхности Земли имеет площадь в 3600² раз меньше: A(1′′) ≈ 12 391 км² / (60 · 60)² ≈ 956 м².

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Объём ${\displaystyle n}$-мерного сегмента гиперсферы высотой ${\displaystyle h}$ и радиуса ${\displaystyle r}$ в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве определяется по формуле ^[7]

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}t\,\mathrm {d} t,}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ (гамма-функция) задаётся выражением ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.}$

Выражение для объёма ${\displaystyle V}$ можно переписать в терминах объёма единичного ${\displaystyle n}$-мерного шара ${\displaystyle C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma \left[1+{\frac {n}{2}}\right]}}$ и гипергеометрической функции ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ или регуляризованной неполной бета-функции ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$ как

${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).}$

Формула для площади поверхности ${\displaystyle A}$ может быть записана в терминах площади поверхности единичного ${\displaystyle n}$-мерного шара ${\displaystyle A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma \left[{\frac {n}{2}}\right]}}$ как

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$

где ${\displaystyle 0\leq h\leq r.}$

Также справедливы следующие формулы^[8]: ${\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),\quad V=V_{n}p_{n}(q),}$ где ${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),\quad p_{n}(q)={\frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1)}{2}},}$

${\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.}$

При ${\displaystyle n=2k+1:}$

${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}.}$

Было показано^[9], что при ${\displaystyle n\to \infty }$ и ${\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const }}}$ ${\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}}),}$ где ${\displaystyle F()}$ — стандартное нормальное распределение.