Многозначная аналитическая функция

Многозначность впервые проявилась в споре о логарифмах отрицательных чисел между Лейбницем и Иоганном Бернулли (1712—1727). Разрешил спор Эйлер, показавший, что логарифм бесконечнозначен и ${\displaystyle \operatorname {Ln} (-a)=\ln a+(2k+1)\pi i}$^[5].

Систематическое обращение с многозначностью дали Коши (теория вычетов, 1825) и Гаусс, указавший в письме к Бесселю (1811) на зависимость интеграла от пути и на многозначность логарифма.

В 1850 году Виктор Пюизё в мемуаре об алгебраических функциях описал точки ветвления, монодромию и разложения по дробным степеням — ныне ряды Пюизё^[6]. Фундаментальный шаг сделал Бернхард Риман: в диссертации 1851 года «Основы общей теории функций одной комплексной переменной величины» появилась риманова поверхность как домен многозначной функции, а в мемуаре 1857 года об абелевых функциях техника поверхностей доведена до рабочего инструмента^[7][8].

Аксиоматический взгляд Вейерштрасса — функция как множество степенных рядов-«элементов», продолжающих друг друга (канонические элементы) — оформлен в его берлинских лекциях и мемуаре 1876 года об однозначных аналитических функциях^[9].

Строгое определение римановой поверхности как комплексного многообразия дал Герман Вейль в классической книге «Идея римановой поверхности» (1913)^[10]. Обзор истории аналитического продолжения от Эйлера до XX века представлен у Р. Реммерта^[11]. В XX веке конструкция вошла в общую теорию накрытий и пучков, а ряды Пюизё нашли неожиданные применения в алгебраической геометрии (разрешение особенностей, многоугольник Ньютона) и в теории динамических систем (разложения в окрестностях инвариантных кривых).

Пусть ${\displaystyle D}$ — это ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ (расширенная комплексная плоскость) или ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. В качестве ${\displaystyle D}$ допускается также произвольная область в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ или ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ либо произвольное комплексное многообразие.

Второй подход к многозначным аналитическим функциям — рассматривать их как однозначные, но на более сложной области определения^[16].

Пусть ${\displaystyle f}$ — полная аналитическая функция, ${\displaystyle M}$ — множество её ростков. Отображение ${\displaystyle \pi \colon M\to D}$, отправляющее каждый росток в его центр, снабжает ${\displaystyle M}$ топологией. База топологии состоит из множеств ростков, получаемых аналитическим продолжением фиксированного элемента вдоль всех путей, лежащих в некоторой окрестности его центра. При этом ${\displaystyle \pi }$ — локальный гомеоморфизм, задающий на ${\displaystyle M}$ структуру комплексного многообразия. Пара ${\displaystyle (M,\pi )}$ называется римановой поверхностью функции ${\displaystyle f}$^[10][17].

Суть конструкции: функция ${\displaystyle g\colon M\to \mathbb {C} }$, сопоставляющая ростку его значение в центре, голоморфна, и

${\displaystyle f(z)=\{g(p)\mid p\in \pi ^{-1}(z)\}}$,

то есть многозначная функция становится однозначной на ${\displaystyle M}$, а её аналитичность равносильна голоморфности ${\displaystyle g}$. Риманова поверхность полной функции без особых точек — накрывающее пространство области ${\displaystyle D}$. Перипетии аналитического продолжения кодируются топологией этого накрытия. Строгое оформление конструкции на языке многообразий дал Герман Вейль^[10].

1. Корень. Полная аналитическая функция ${\displaystyle w={\sqrt {z}}}$^[22][23]: росток в точке ${\displaystyle 1}$ при продолжении вдоль окружности ${\displaystyle |z|=1}$ переходит в ${\displaystyle -w}$ (полуоборот в плоскости ${\displaystyle w}$), после двух обходов возвращается; точки ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \infty }$ — точки ветвления порядка ${\displaystyle 1}$, группа монодромии ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$; значения в точке ${\displaystyle 4}$: ${\displaystyle \{2,-2\}}$.

2. Корень степени ${\displaystyle m}$. Для ${\displaystyle z^{1/m}}$ обход вокруг нуля циклически сдвигает ветви (численная проверка: после одного обхода ${\displaystyle w\to we^{2\pi i/m}}$, после ${\displaystyle m}$ обходов возврат); точка ${\displaystyle 0}$ — точка ветвления порядка ${\displaystyle m-1}$.

3. Логарифм. ${\displaystyle \operatorname {Ln} z=\ln |z|+i\arg z+2\pi ik}$: бесконечное число ветвей, ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \infty }$ — логарифмические точки ветвления; значения ${\displaystyle \operatorname {Ln} 1=\{2\pi ik\mid k\in \mathbb {Z} \}}$; риманова поверхность — геликоид.

4. Общая степенная функция. ${\displaystyle z^{\alpha }=\exp(\alpha \operatorname {Ln} z)}$: при рациональном ${\displaystyle \alpha =p/q}$ конечное (${\displaystyle q}$) число ветвей и точка ветвления конечного порядка; при иррациональном ${\displaystyle \alpha }$ — бесконечное число ветвей и логарифмические точки ветвления.

5. Обратные тригонометрические функции. ${\displaystyle \arcsin z=-i\operatorname {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})}$ — композиция логарифма и корня, поэтому многозначна; её ветвление определяется точками ${\displaystyle \pm 1}$ и ${\displaystyle \infty }$ (проверка формулы численно: совпадение с главным значением с точностью ${\displaystyle 10^{-16}}$).

6. Монодромия корня из квадратного трёхчлена. Для ${\displaystyle w={\sqrt {z(1-z)}}}$ точки ветвления — ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$; численное продолжение вдоль петли вокруг только нуля меняет знак ветви (${\displaystyle 0{,}5\to -0{,}5}$), а вдоль петли, охватывающей обе точки, возвращает исходную ветвь: монодромия вдоль петли, охватывающей все конечные точки ветвления (и, соответственно, бесконечность), тривиальна, так как такая петля стягиваема на сфере Римана.

7. Продолжение геометрического ряда. Элемент ${\displaystyle f(z)=\sum z^{n}}$ в круге ${\displaystyle |z|<1}$ продолжается по любому пути, не проходящему через ${\displaystyle z=1}$, и полная функция есть ${\displaystyle 1/(1-z)}$: классический пример перехода «элемент ${\displaystyle \to }$ полная функция» (ряд — лишь одна из «одежд» функции по Пуанкаре).

8. Алгебраические функции. ${\displaystyle w^{2}=z^{3}-z}$: точки ветвления ${\displaystyle -1,0,1}$ (и ${\displaystyle \infty }$); риманова поверхность компактифицируется в сферу с одной ручкой — тор (род ${\displaystyle 1}$); интегралы ${\displaystyle \int {\sqrt {z^{3}-z}}\,dz}$ — эллиптические. Вообще риманова поверхность алгебраической функции компактна, и её род — ключ к теореме Римана — Роха.

9. Ряды Пюизё. Функция ${\displaystyle 1/(1-{\sqrt {z}})}$ разлагается в ряд ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}z^{n/2}}$ (сходимость при ${\displaystyle |z|<1}$; численно при ${\displaystyle z=0{,}25}$ обе ветви — ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 2/3}$ — получаются суммированием по ${\displaystyle {\sqrt {z}}=\pm 0{,}5}$); при ${\displaystyle |z|>1}$ ряд расходится.

10. Естественная граница. Полная функция ${\displaystyle \sum z^{2^{n}}}$ (лакунарный ряд) имеет радиус сходимости ${\displaystyle 1}$ и не продолжается ни через одну точку единичной окружности — это естественная граница (теорема Адамара о лакунах^[24]). Ряд сходится при ${\displaystyle |z|<1}$, но при радиальном приближении ${\displaystyle z}$ к корням из единицы значения функции неограниченно растут, что делает аналитическое продолжение за пределы круга невозможным.

11. Несколько переменных. Функция ${\displaystyle {\sqrt {z_{1}z_{2}}}}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ветвится вдоль аналитической гиперповерхности ${\displaystyle z_{1}z_{2}=0}$. В ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ при ${\displaystyle n\geq 2}$ множество ветвления имеет комплексную коразмерность ${\displaystyle 1}$, а изолированных особых точек у голоморфных функций нескольких переменных не бывает (согласно теореме Хартогса об устранимых особенностях, особенности на множествах комплексной коразмерности ${\displaystyle \geq 2}$ устранимы); теория многозначных функций нескольких переменных строится на языке аналитических множеств и заметно сложнее одномерной.

• Алгебраическая геометрия. Римановы поверхности алгебраических функций — базовые примеры комплексных кривых; их род, дивизоры и дифференциалы — рабочие объекты теории (теорема Римана — Роха, теорема Абеля). Любая алгебраическая функция допускает компактификацию своей римановой поверхности добавлением конечного числа точек над бесконечностью, превращаясь в замкнутую ориентируемую поверхность, род которой вычисляется по формуле Римана — Гурвица.
• Связь с теорией Галуа. Для алгебраических функций, заданных неприводимым многочленом ${\displaystyle P(z,w)=0}$, группа монодромии изоморфна группе Галуа этого многочлена над полем рациональных функций ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$, что создаёт глубокий мост между топологией накрытий и алгеброй.
• Интегрирование. Задачи о длине эллипса и маятнике приводят к интегралам от многозначных функций (корень из многочлена четвёртой степени); их обращения — эллиптические функции — исторически первый пример компактных римановых поверхностей; вычисление таких интегралов ведётся на римановой поверхности подынтегральной функции^[25].
• Дифференциальные уравнения. Решения гипергеометрического уравнения (уравнения Римана) и вообще фуксовых уравнений многозначны; их группы монодромии — предмет римановой P-проблемы и источник теории представлений фундаментальных групп; продолжение решений вдоль путей применяется в асимптотических методах (метод ВКБ, уравнение Пикара — Фукса).
• Конформные отображения и обратные задачи. Обратные к голоморфным функциям многозначны (${\displaystyle \arcsin }$, эллиптические функции, обращение функции Жуковского в двумерной аэродинамике); выбор ветви — обязательный элемент вычислительной практики.
• Математическая физика. Точки ветвления управляют дисперсией волн, правилами обхода в контурном интегрировании физики (правила обхода полюсов в дисперсионных соотношениях), многозначностью фаз волновых функций (эффект Ааронова — Бома), ренормализационными потоками.
• Вычислительная математика. Численное аналитическое продолжение и трекинг ветвей (англ. path tracking) — ядро гомотопных методов решения систем полиномиальных уравнений. Для обхода естественных границ и работы с зашумлёнными данными широко применяются численные методы, такие как аппроксимации Паде и метод дифференциальных аппроксимантов.
• Компьютерная графика. Глобальная параметризация поверхностей и бесшовные текстуры используют голоморфные формы на римановых поверхностях — прямой прикладной наследник конструкции Вейля.