Дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция — функция вида

${\displaystyle w=L(z)={\frac {a_{1}z_{1}+...+a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+...+c_{n}z_{n}+d}},}$ где ${\displaystyle z=z_{1},...,z_{n}}$ — комплексные или действительные переменные, ${\displaystyle a_{j},b,c_{j},d}$  — комплексные или действительные коэффициенты, ${\displaystyle |c_{1}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$.

• Если ${\displaystyle |c_{1}|=\dots =|c_{n}|=0,}$ то дробно-линейная функция является целой линейной функцией.

• Если ранг матрицы ${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right)}$ равен единице, то ${\displaystyle L(z)}$ — постоянная.

Собственно дробно-линейная функция получается, если ${\displaystyle |c_{1}|+\dots +|c_{n}|>0}$ и ранг матрицы ${\displaystyle A}$ равен двум. (1)

Дробно-линейная функция действительной переменной — это функция вида

${\displaystyle y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},}$ где числа, ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ — действительные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — действительные коэффициенты, ${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$.

• В случае ${\displaystyle n=1}$ и действительных ${\displaystyle a_{1}=a}$, ${\displaystyle c_{1}=c}$, ${\displaystyle z_{1}=z}$ график дробно-линейной функции есть равносторонняя (равнобочная) гипербола с асимптотами ${\displaystyle z=-d/c}$ и ${\displaystyle w=a/c}$.
  

  Равносторонняя гипербола — для ${\displaystyle n=1}$ и действительных ${\displaystyle a_{1}=a}$, ${\displaystyle c_{1}=c}$, ${\displaystyle z_{1}=z}$ 
• В случае ${\displaystyle n=2}$ и действительных ${\displaystyle a_{1},}$ ${\displaystyle a_{2},}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c_{1},}$ ${\displaystyle c_{2},}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ график дробно-линейной функции представляет собой гиперболический параболоид^[1].
  

  Гиперболический параболоид

В случае ${\displaystyle n=1}$ и выполнения условия (1) дробно-линейная функция задаётся формулой ${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}}$ . Для построения графика этой функции выделяют из дроби целую часть: ${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {\left({\frac {bc-ad}{c^{2}}}\right)}{x+{\frac {d}{c}}}}}$. Тогда при ${\displaystyle a\neq 0}$ и ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ график дробно-линейной функции получается из графика гиперболы ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ с помощью растяжения от оси абсцисс с коэффициентом в ${\displaystyle k={\frac {bc-ad}{c^{2}}}}$ и параллельного переноса, при котором начало координат переходит в точку ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right)}$. Прямые ${\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle y={\frac {a}{c}}}$ — асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот, не принадлежащая кривой — её центр^[2].

Равнобочная гипербола ${\displaystyle y={\frac {2x-1}{x+2}}}$ с асимптотами ${\displaystyle x=-2}$ и ${\displaystyle y=2}$

График функции — равносторонняя гипербола с действительными полуосями, с центром в точке ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right)}$ и с асимптотами, параллельными осям координат и проходящими через точку ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right)}$.

• Функция имеют один полюс 1-го порядка в точке ${\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}$.
• Экстремумов нет.
• Если ${\displaystyle ad-bc<0}$, то на интервалах ${\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)}$ и ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},+\infty \right)}$ функция монотонно убывает.
• Если ${\displaystyle ad-bc>0}$, то на интервалах ${\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)}$ и ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},+\infty \right)}$функция монотонно возрастает^[3].

• В случае ${\displaystyle n=1}$ дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ есть аналитическая функция всюду в расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ и имеет вид ${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}},}$ где ${\displaystyle a,b,c,d}$ — заданные комплексные числа, причём ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\neq 0}$.

Дробно-линейная функция определена для всех значений независимого переменного ${\displaystyle z}$, кроме ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$, (в которой ${\displaystyle L(z)}$ имеет простой полюс), однозначна и, так как обратная функция ${\displaystyle z={\frac {-dw+b}{cw-a}}}$ однозначна, однолистна во всей комплексной плоскости.

В этой области производная функции ${\displaystyle {\frac {dw}{dz}}={\frac {ad-bc}{(cz+d)^{2}}}\neq 0}$, поэтому осуществляемое ею отображение конформно.

Доопределив функцию ${\displaystyle L(z)}$ в точке ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$, полагая ${\displaystyle w{\Bigl (}-{\frac {d}{c}}{\Bigr )}=\infty }$, а бесконечно удалённой точке ${\displaystyle w=\infty }$ ставя в соответствие точку ${\displaystyle z(\infty )=-{\frac {d}{c}}}$, получают, что дробно-линейная функция будет однолистна в расширенной комплексной nлоскости ${\displaystyle z}$^[4].

• При ${\displaystyle n\geqslant 1}$ дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ есть мероморфная функция в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ комплексных переменных ${\displaystyle z=z_{1},\dots ,z_{n}}$, имеющая полярным множеством множество ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+\cdots +c_{n}z_{n}+d=0\}}$^[1].

Дробно-линейная функция ${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$ (${\displaystyle ad-bc\neq 0,c\neq 0}$) однозначно и конформно отображает замкнутую плоскость ${\displaystyle z}$ на плоскость ${\displaystyle w}$. Верно и обратное: каждая аналитическая функция, которая отображает взаимно однозначно и конформно замкнутую плоскость на себя, является дробно-линейной.

Это преобразование можно разложить на три: ${\displaystyle t=cz+d}$ — линейная функция, ${\displaystyle s={1 \over t}}$ — инверсия и ${\displaystyle w={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c}}\cdot s}$ — линейная функция. В результате дробно-линейная функция переводит круг в круг (если считать прямые частным случаем окружности). Неподвижные точки этого отображения удовлетворяют уравнению ${\displaystyle z={\frac {az+b}{cz+d}}}$^[5].