Композиция функций

Пусть даны два множества ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и две функции: ${\displaystyle f\colon A\to B}$, ${\displaystyle g\colon B\to C}$. Композицией (суперпозицией) функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ называется функция: ${\displaystyle g\circ f\colon A\to C}$, определяемая соотношением: ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$ для всех ${\displaystyle x\in A}$^[3][4].

Функция ${\displaystyle f}$ называется внутренней функцией, а ${\displaystyle g}$ — внешней функцией композиции.

В более общем случае, когда область значений функции ${\displaystyle f}$ не обязательно является подмножеством области определения функции ${\displaystyle g}$, композиция ${\displaystyle g\circ f}$ определена на множестве: ${\displaystyle \operatorname {dom} (g\circ f)={x\in \operatorname {dom} (f)\mid f(x)\in \operatorname {dom} (g)}}$, то есть на множестве тех элементов из области определения ${\displaystyle f}$, образы которых попадают в область определения ${\displaystyle g}$^[5].

В математической литературе используются различные обозначения:

• ${\displaystyle g\circ f}$ — наиболее распространённое обозначение (читается «${\displaystyle g}$ после ${\displaystyle f}$» или «${\displaystyle g}$ круг ${\displaystyle f}$»);
• ${\displaystyle gf}$ — сокращённая запись, часто используемая в алгебре и теории групп;
• ${\displaystyle g(f(x))}$ — запись через значение функции;
• ${\displaystyle f;g}$ — обозначение, иногда применяемое в теории категорий, информатике и теории полугрупп (при этом порядок применения совпадает с порядком записи: сначала ${\displaystyle f}$, затем ${\displaystyle g}$);
• ${\displaystyle xf}$ — постфиксная запись (бесприставочная нотация), при которой аргумент записывается перед функцией. В этом случае композиция записывается как ${\displaystyle (xf)g}$, что означает «сначала применить ${\displaystyle f}$, затем ${\displaystyle g}$». Такая нотация удобна тем, что порядок записи совпадает с порядком применения, и часто используется в теории автоматов, универсальной алгебре и некоторых разделах алгебры.

Порядок записи в обозначении ${\displaystyle g\circ f}$ обратен порядку применения функций: сначала применяется ${\displaystyle f}$ (правая функция), затем ${\displaystyle g}$ (левая функция). Это является частым источником ошибок.

Композиция функций ассоциативна. Если даны функции: ${\displaystyle f\colon A\to B}$, ${\displaystyle g\colon B\to C}$, ${\displaystyle h\colon C\to D}$, то: ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$.

Доказательство. Для любого ${\displaystyle x\in A}$: ${\displaystyle (h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))}$, ${\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))}$. Значения совпадают для всех ${\displaystyle x\in A}$. ЧТД.

Благодаря ассоциативности можно писать ${\displaystyle h\circ g\circ f}$ без скобок.

Композиция функций, как правило, не коммутативна: ${\displaystyle g\circ f\neq f\circ g}$.

Пример. Пусть ${\displaystyle f(x)=x+1}$ и ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$. Тогда: ${\displaystyle (g\circ f)(x)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1}$, ${\displaystyle (f\circ g)(x)=x^{2}+1}$. Очевидно, что ${\displaystyle g\circ f\neq f\circ g}$.

Существуют пары функций, для которых композиция коммутативна. Например:

• ${\displaystyle f(x)=2x}$ и ${\displaystyle g(x)=3x}$ (обе композиции дают ${\displaystyle 6x}$);
• ${\displaystyle f(x)=x+1}$ и ${\displaystyle g(x)=x+2}$ (обе композиции дают ${\displaystyle x+3}$);
• ${\displaystyle f(x)=x^{m}}$ и ${\displaystyle g(x)=x^{n}}$ (обе композиции дают ${\displaystyle x^{mn}}$).

Изучение условий, при которых функции коммутируют относительно композиции, представляет самостоятельный математический интерес. Например, теорема Ритта (1923) полностью описывает все пары многочленов над полем комплексных чисел, коммутирующих относительно композиции^[6].

Тождественная функция ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}\colon A\to A}$, определяемая как ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}(x)=x}$ для всех ${\displaystyle x\in A}$, является нейтральным элементом относительно композиции: ${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{A}=f}$, ${\displaystyle \operatorname {id} _{B}\circ f=f}$ для любой функции ${\displaystyle f\colon A\to B}$.

Свойство ${\displaystyle f}$	Свойство ${\displaystyle g}$	Свойство ${\displaystyle g\circ f}$
Инъективна	Инъективна	Инъективна
Сюръективна	Сюръективна	Сюръективна
Биективна	Биективна	Биективна

Кроме того, справедливы следующие обратные утверждения:

• если ${\displaystyle g\circ f}$ инъективна, то ${\displaystyle f}$ инъективна (но ${\displaystyle g}$ не обязательно);
• если ${\displaystyle g\circ f}$ сюръективна, то ${\displaystyle g}$ сюръективна (но ${\displaystyle f}$ не обязательно).

Если ${\displaystyle f}$ сюръективна, а ${\displaystyle g}$ инъективна, то о композиции ${\displaystyle g\circ f}$ в общем случае нельзя сказать ничего: она может не быть ни инъективной, ни сюръективной^[7].

Функция ${\displaystyle f\colon A\to B}$ является обратимой (то есть является биекцией) тогда и только тогда, когда существует функция ${\displaystyle f^{-1}\colon B\to A}$ такая, что:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{A}}$,

${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{B}}$.

Если ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ обратимы, то:

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}$.

Это свойство аналогично формуле для обратной матрицы произведения: ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$^[8].

Многие сложные функции можно представить как композицию более простых. Например:

${\displaystyle h(x)=\sin(x^{2}+1)}$ можно разложить как ${\displaystyle h=g\circ f}$, где ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ и ${\displaystyle g(x)=\sin x}$.

Аналогично, функция

${\displaystyle h(x)=e^{\sqrt {\ln x}}}$

представляет собой композицию трёх функций: ${\displaystyle h=h_{3}\circ h_{2}\circ h_{1}}$, где ${\displaystyle h_{1}(x)=\ln x}$, ${\displaystyle h_{2}(x)={\sqrt {x}}}$, ${\displaystyle h_{3}(x)=e^{x}}$.

В некоторых случаях понятие итерации можно обобщить на дробные, иррациональные или даже комплексные показатели. Если для функции ${\displaystyle f}$ удаётся построить непрерывный поток (однопараметрическую группу преобразований) ${\displaystyle f^{t}}$, где ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, то можно говорить о дробной итерации, например, о функциональном квадратном корне ${\displaystyle f^{1/2}}$, для которого ${\displaystyle f^{1/2}\circ f^{1/2}=f}$. Задача построения таких потоков тесно связана с решением функциональных уравнений (например, уравнение Шрёдера)^[10].

Одним из важнейших приложений композиции функций в математическом анализе является правило дифференцирования сложной функции (цепное правило, chain rule). Если ${\displaystyle f}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x}$, а ${\displaystyle g}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle f(x)}$, то композиция ${\displaystyle g\circ f}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x}$, и: ${\displaystyle (g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)}$.

В обозначениях Лейбница, если ${\displaystyle y=g(u)}$ и ${\displaystyle u=f(x)}$, то: ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$. Для композиции нескольких функций правило обобщается: ${\displaystyle (h\circ g\circ f)'(x)=h'(g(f(x)))\cdot g'(f(x))\cdot f'(x)}$.

Пример. Найти производную ${\displaystyle h(x)=\sin(x^{2})}$. Представляя ${\displaystyle h=g\circ f}$, где ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, ${\displaystyle g(u)=\sin u}$: ${\displaystyle h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x=2x\cos(x^{2})}$^[11].

Для вычисления ${\displaystyle n}$-й производной сложной функции используется формула Фаа ди Бруно, которая является обобщением цепного правила на случай высших производных. Эта формула выражает ${\displaystyle (g\circ f)^{(n)}(x)}$ через производные функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ до ${\displaystyle n}$-го порядка включительно и может быть компактно записана с использованием полиномов Белла^[12].

Если ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$, а ${\displaystyle g}$ непрерывна в точке ${\displaystyle f(a)}$, то ${\displaystyle g\circ f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$. Это свойство следует из определения непрерывности через пределы: ${\displaystyle \lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=g\left(\lim _{x\to a}f(x)\right)=g(f(a))=(g\circ f)(a)}$^[13].

Метод замены переменной (подстановки) при вычислении интегралов тесно связан с композицией функций. Если ${\displaystyle x=\varphi (t)}$, то: ${\displaystyle \int f(x),dx=\int f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t),dt}$. По существу, подынтегральная функция заменяется композицией ${\displaystyle f\circ \varphi }$, умноженной на производную подстановки^[14].

Множество всех функций из множества ${\displaystyle A}$ в себя (обозначается ${\displaystyle A^{A}}$ или ${\displaystyle \operatorname {End} (A)}$) образует моноид относительно операции композиции:

• операция замкнута: композиция двух функций из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle A}$ снова является функцией из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle A}$;
• операция ассоциативна;
• существует нейтральный элемент — тождественная функция ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}}$.

Этот моноид называется полным моноидом преобразований множества ${\displaystyle A}$^[15].

Множество всех биекций из ${\displaystyle A}$ в себя образует группу относительно композиции, называемую симметрической группой ${\displaystyle S(A)}$ (или ${\displaystyle \operatorname {Sym} (A)}$). Для конечного множества из ${\displaystyle n}$ элементов эта группа обозначается ${\displaystyle S_{n}}$ и содержит ${\displaystyle n!}$ элементов.

Симметрическая группа играет центральную роль в теории групп благодаря теореме Кэли: всякая группа изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы^[16].

Множество всех функций из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle A}$ образует также полугруппу относительно композиции. Изучение полугрупп преобразований составляет важный раздел теории полугрупп. Аналогом теоремы Кэли для полугрупп служит теорема о том, что всякая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе преобразований.

Если ${\displaystyle A\colon V\to W}$ и ${\displaystyle B\colon W\to U}$ — линейные операторы между векторными пространствами, то их композиция ${\displaystyle B\circ A\colon V\to U}$ также является линейным оператором.

Если в пространствах ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle U}$ выбраны базисы, то каждому линейному оператору соответствует матрица. Матрица композиции линейных операторов равна произведению их матриц: : ${\displaystyle M_{B\circ A}=M_{B}\cdot M_{A}}$. Именно тот факт, что композиция функций соответствует умножению матриц, является исторической и концептуальной причиной того, почему умножение матриц определяется таким сложным на первый взгляд способом (по правилу «строка на столбец»). Поскольку композиция функций некоммутативна, умножение матриц также некоммутативно.

Множество всех линейных операторов из пространства ${\displaystyle V}$ в себя (эндоморфизмов) ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$ образует ассоциативную алгебру над основным полем относительно операций сложения, умножения на скаляр и композиции (умножения операторов)^[17].

В функциональном анализе и теории операторов важную роль играет оператор суперпозиции (или оператор сдвига). Если задана функция ${\displaystyle g\colon X\to X}$, то оператор суперпозиции ${\displaystyle C_{g}}$ действует на пространстве функций по правилу: : ${\displaystyle C_{g}(f)=f\circ g}$. Изучение свойств таких операторов (их ограниченности, компактности, спектра) составляет важный раздел современной теории операторов^[18].

Понятие композиции обобщается на бинарные отношения. Если ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ и ${\displaystyle S\subseteq B\times C}$ — бинарные отношения, то их композиция ${\displaystyle S\circ R\subseteq A\times C}$ определяется как: : ${\displaystyle S\circ R={(a,c)\in A\times C\mid \exists ,b\in B\colon (a,b)\in R{\text{ и }}(b,c)\in S}}$.

Композиция функций является частным случаем, поскольку каждая функция определяет бинарное отношение (её график)^[20].

Для многозначных функций (соответствий) ${\displaystyle F\colon A\rightrightarrows B}$ и ${\displaystyle G\colon B\rightrightarrows C}$ композиция определяется аналогично: ${\displaystyle (G\circ F)(a)=\bigcup _{b\in F(a)}G(b)}$.

Для функций нескольких переменных определяется суперпозиция. Если даны функции ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{m}\colon A^{n}\to A}$ и функция ${\displaystyle g\colon A^{m}\to A}$, то суперпозиция: ${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))}$ определяет новую функцию ${\displaystyle h\colon A^{n}\to A}$^[21].

Это понятие играет ключевую роль в универсальной алгебре и теории клонов^[22].

Фундаментальным результатом в этой области является теорема Колмогорова — Арнольда (1957), которая утверждает, что любая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена как суперпозиция непрерывных функций одного переменного. Эта теорема решила тринадцатую проблему Давида Гильберта в её классической формулировке и имеет глубокие приложения в теории приближений и теории нейронных сетей^[23].