Функция Жуковского

Функция Жуковского определяется как преобразование комплексной плоскости ${\displaystyle f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }$ по формуле^[1]

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right).}$

Также функцию Жуковского можно определить как композицию дробно-рациональной и квадратичной функции^[3]:

${\displaystyle f(z)=(S_{1}^{-1}\circ S_{2}\circ S_{1})(z),}$

где

${\displaystyle S_{1}(z)={\frac {z-1}{z+1}},\;S_{2}(z)=z^{2}.}$

• ${\displaystyle f(z)=f\left({\frac {1}{z}}\right)}$^[1].
• Обратной к функции Жуковского является функция ${\displaystyle g(z)=z+{\sqrt {z^{2}-1}}}$^[4].
• ${\displaystyle f'(z)={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$ отлична от нуля при ${\displaystyle z\neq \pm 1}$. Следовательно, отображение ${\displaystyle f(z)}$ является конформным везде, за исключением этих точек^[5].
• Функция Жуковского совершает следующие конформные отображения^[2]:

• круг ${\displaystyle \left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace }$ на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку ${\displaystyle (-1,1)}$ действительной оси.
• круг ${\displaystyle \left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace }$ с разрезами по отрезкам ${\displaystyle (b,1)}$ и ${\displaystyle (-1,-a)}$, где ${\displaystyle 0<a,b<1}$ на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\left(a+{\frac {1}{a}}\right),{\frac {1}{2}}\left(b+{\frac {1}{b}}\right)\right)}$.
• верхняя полуплоскость на всю комплексную плоскость с разрезом по лучам ${\displaystyle (-\infty ,-1)}$ и ${\displaystyle (1,+\infty )}$ на действительной оси.
• полукруг ${\displaystyle \left\lbrace z:|z|<1,{\mbox{Im}}\,z>0\right\rbrace }$ на нижнюю полуплоскость.
• окружность, проходящая через точку ${\displaystyle 1}$ и содержащая точку ${\displaystyle -1}$, на замкнутую кривую, подобную профилю самолётного крыла и называющуюся профилем Жуковского — Чаплыгина. Вариацией радиуса и положения центра окружности можно менять угол изгиба и толщину крыла^[6].

Обобщением функции Жуковского является преобразование Кармана — Треффца, которое связывает исходную переменную ${\displaystyle z}$ с преобразованной ${\displaystyle \zeta }$ равенством

${\displaystyle {\frac {\zeta -k}{\zeta +k}}={\frac {(z-1)^{k}}{(z+1)^{k}}},}$

где ${\displaystyle k<2}$. При ${\displaystyle k=2}$ получается ${\displaystyle \zeta =2f(z)}$^[7].