Изолированная особая точка

Изолированная особая точка — точка, в некоторой проколотой окрестности которой функция $f(z)$ однозначна и аналитична, а в самой точке либо не задана, либо недифференцируема.

Если $a$ — изолированная особая точка для $f(z)$ , то $f(z)$ , будучи аналитической в некоторой проколотой окрестности этой точки, разлагается в ряд Лорана, сходящийся в этой окрестности:

f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}(z-a)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}

.

Первая часть этого разложения называется правильной частью ряда Лорана, вторая — главной частью ряда Лорана.

Тип особой точки функции определяется по главной части этого разложения — точка может быть устранимой (если главная часть нулю), полюсом (главная часть содержит конечное число ненулевых членов) или существенно особой (главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов).

Точка $z=0$ является изолированной особой точкой для функции ${\frac {1}{z}}$ .
Точка $z=0$ является особой точкой функции $f(z)={\frac {1}{1+e^{1/z}}}$ , но не изолированной, так как знаменатель этой дроби обращается в 0 при $z_{k}=(\pi (2k+1)i)^{-1}$ , для любого $k\in \mathbb {Z}$ , следовательно в любой окрестности $z=0$ есть бесконечно много особых точек функции $f(z)$ .

Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).

Rudin, W., Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).

Weisstein, Eric W. Singularity (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Изолированная особая точка

Примеры

Ссылки

Категории