Многозначная функция

Функция ${\displaystyle f}$, которая ставит в соответствие каждому элементу ${\displaystyle x\in X}$ некоторое подмножество ${\displaystyle f(x)}$ множества ${\displaystyle Y:f(x)\subset Y}$, причём существует хотя бы одно ${\displaystyle y\in Y}$, состоящее не менее чем из двух элементов^[1]. На рисунке 1 показано, что функция от элемента «3» принимает два значения ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$.

Рис. 1

Многозначные функции возникают, например, при решении уравнений, поэтому многозначными часто оказываются неявные функции и обратные функции^[2].

• Функция ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ определена для ${\displaystyle x\geqslant 0}$; является обратной к функции ${\displaystyle x^{2}}$. Она двузначна для ${\displaystyle x>0}$: каждому положительному ${\displaystyle x}$ соответствуют два действительных числа, отличающиеся знаками, квадраты которых равны ${\displaystyle x}$.
• Обратные тригонометрические функции: например, функция ${\displaystyle \operatorname {Arcsin} x}$ бесконечнозначная. Она приводит в соответствие каждому значению ${\displaystyle x}$ из отрезка ${\displaystyle \left[-1,+1\right]}$ бесконечное множество значений ${\displaystyle y}$, которые выражаются формулой ${\displaystyle y=(-1)^{k}\arcsin x+k\pi }$, где ${\displaystyle k=0,2,...}$^[3]. График функции ${\displaystyle \operatorname {Arcsin} x}$ показан на рисунке 2. Если в вышеприведённой формуле положить ${\displaystyle k=0}$, то получают так называемые главные значения, которые обозначаются ${\displaystyle y=\arcsin x}$ (на графике выделены красным цветом).

Рис. 2

• В физике при решении задач.

Тело брошено вверх; ${\displaystyle s}$ — высота его подъёма над землёй; ${\displaystyle t}$ — время, прошедшее с момента броска.

Величина ${\displaystyle s}$ есть однозначная функция ${\displaystyle t}$, так как в каждый данный момент высота тела — вполне определённая величина. Величина ${\displaystyle t}$ — двузначная функция ${\displaystyle s}$, так как тело находится на данной высоте ${\displaystyle s}$ дважды — один раз при полёте вверх, другой раз при падении вниз. Формула ${\displaystyle s=v_{0}t-{\frac {1}{2}}{\text{g}}t^{2}}$, связывающая переменные ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$ (начальная скорость ${\displaystyle v_{0}}$ и ускорение свободного падения ${\displaystyle {\text{g}}}$ — в данном случае постоянные величины), показывает, что при данном ${\displaystyle t}$ имеем одно значение ${\displaystyle s}$, а при данном ${\displaystyle s}$ — два значения ${\displaystyle t}$, определяемые из квадратного уравнения ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\text{g}}t^{2}-v_{0}t+s=0}$^[4].

• Первообразную функцию (неопределённый интеграл) также можно рассматривать как бесконечнозначную функцию, поскольку она определена с точностью до константы интегрирования.

Многозначные функции комплексного переменного подробно изучаются в теории аналитических функций. Основной элементарной аналитической многозначной функцией является бесконечнозначная функция ${\displaystyle \ln z}$. Через неё выражаются все остальные элементарные аналитические многозначные функции, например: ${\displaystyle z^{a}=e^{a\ln z}}$; ${\displaystyle \operatorname {arctg} z={\frac {i}{2}}\ln {\frac {1-iz}{1+iz}}}$^[2].

Униформизация — это представление многозначной аналитической функции ${\displaystyle w=f(z)}$ через однозначные аналитические функции ${\displaystyle w=w(t)}$, ${\displaystyle z=z(t)}$ некоторого параметра ${\displaystyle t}$.

Например, двузначная аналитическая функция ${\displaystyle w={\sqrt {1-z^{2}}}}$, определяемая алгебраическим уравнением ${\displaystyle w^{2}+z^{2}-1=0}$ степени ${\displaystyle 2}$, униформизируется посредством пары однозначных функций параметра ${\displaystyle t}$: ${\displaystyle w={\frac {2t}{1+t^{2}}}}$, ${\displaystyle z={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$ или ${\displaystyle w=\cos t}$, ${\displaystyle z=\sin t}$.

Вообще, локальная униформизация алгебраических функций степени ${\displaystyle k}$, задаваемых алгебраическим уравнением степени ${\displaystyle k}$ по ${\displaystyle w}$, то есть униформизация в окрестности некоторой точки ${\displaystyle (z_{0},w_{0})}$, легко достигается с помощью введения униформизирующего параметра ${\displaystyle t={\sqrt[{k}]{z-z_{0}}}}$. Трудность проблемы униформизации состоит в отыскании параметра, униформизирующего функцию ${\displaystyle w=f(z)}$ «в целом», то есть во всей области её значений. Для алгебраических функций степени ${\displaystyle 2}$ униформизацию в целом всегда можно осуществить при помощи рациональных или тригонометрических функций; для степеней ${\displaystyle 3}$ и ${\displaystyle 4}$ — с добавлением эллиптических функций; для степеней ${\displaystyle k>4}$ — с добавлением автоморфных функций^[5].