Прямоугольный параллелепипед

Формула ${\displaystyle V=abc}$ выражает объём как произведение площади прямоугольного основания ${\displaystyle ab}$ на высоту ${\displaystyle c}$. Для целых измерений она соответствует подсчёту единичных кубов, заполняющих тело без наложений и промежутков. Для рациональных измерений применяют более мелкую общую единицу длины, а для произвольных положительных действительных измерений — приближение снизу и сверху рациональными числами^[2].

Площадь полной поверхности складывается из площадей шести прямоугольников. Каждое из произведений ${\displaystyle ab}$, ${\displaystyle ac}$ и ${\displaystyle bc}$ встречается дважды, что даёт ${\displaystyle S=2ab+2ac+2bc}$. Если рассматривают только боковую поверхность относительно оснований размером ${\displaystyle a\times b}$, слагаемое ${\displaystyle 2ab}$ исключают^[7].

При одинаковом увеличении всех измерений в ${\displaystyle k>0}$ раз длины рёбер и диагоналей увеличиваются в ${\displaystyle k}$ раз, площади — в ${\displaystyle k^{2}}$ раз, объём — в ${\displaystyle k^{3}}$ раз. Два прямоугольных параллелепипеда подобны тогда и только тогда, когда после подходящей перестановки измерений выполняется ${\displaystyle a':b':c'=a:b:c}$^[3].

В прямоугольной системе координат с началом в вершине ${\displaystyle A}$ и осями, направленными вдоль ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle AA_{1}}$, тело задаётся как Декартово произведение трёх отрезков:

${\displaystyle P=[0,a]\times [0,b]\times [0,c].}$

Иначе говоря, точка ${\displaystyle (x,y,z)}$ принадлежит ему тогда и только тогда, когда одновременно выполняются неравенства ${\displaystyle 0\leq x\leq a}$, ${\displaystyle 0\leq y\leq b}$ и ${\displaystyle 0\leq z\leq c}$. Его вершины имеют координаты ${\displaystyle (\varepsilon _{1}a,\varepsilon _{2}b,\varepsilon _{3}c)}$, где каждое ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ независимо принимает значения ${\displaystyle 0}$ или ${\displaystyle 1}$^[10].

В частности,

${\displaystyle A=(0,0,0),\quad B=(a,0,0),\quad C=(a,b,0),\quad D=(0,b,0),\quad C_{1}=(a,b,c).}$

Общий центр диагоналей имеет координаты

${\displaystyle O=\left({\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}},{\frac {c}{2}}\right).}$

Граничная поверхность состоит из точек тела, у которых хотя бы одна координата равна одному из концов соответствующего отрезка. Внутренние точки удовлетворяют всем трём парам строгих неравенств.

Векторная запись не требует привязки к конкретным координатным осям. Если ${\displaystyle \mathbf {u} }$, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ и ${\displaystyle \mathbf {w} }$ — три попарно ортогональных ненулевых вектора рёбер, то

${\displaystyle P=\{\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {u} +t\mathbf {v} +q\mathbf {w} \mid 0\leq s,t,q\leq 1\},}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ задаёт одну из вершин. Объём равен модулю смешанного произведения этих векторов:

${\displaystyle V=\left|\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )\right|=\lVert \mathbf {u} \rVert \,\lVert \mathbf {v} \rVert \,\lVert \mathbf {w} \rVert =abc.}$

Если условие попарной ортогональности снять, та же конструкция задаёт произвольный невырожденный параллелепипед при условии линейной независимости трёх векторов^[9].

Точка ${\displaystyle O}$ является центром симметрии прямоугольного параллелепипеда. Три плоскости, проходящие через неё параллельно граням, служат плоскостями зеркальной симметрии. Прямые, соединяющие центры противоположных граней, являются осями поворота на ${\displaystyle 180^{\circ }}$^[11].

Полная группа симметрии зависит от соотношения измерений. При трёх попарно различных измерениях она содержит восемь преобразований, включая тождественное. В координатах с началом в центре это независимые замены знаков трёх координат. Если ровно два измерения равны, появляются дополнительные преобразования, меняющие местами соответствующие направления; для куба допустимы все перестановки трёх направлений^[11].

Симметрия в зависимости от измерений

Измерения	Геометрический случай	Полная группа в обозначениях Шёнфлиса	Число всех симметрий	Число собственных вращений, включая тождественное
${\displaystyle a,b,c}$ попарно различны	Общий случай	${\displaystyle D_{2h}}$	8	4
${\displaystyle a=b\neq c}$, с точностью до перестановки	Квадратная призма	${\displaystyle D_{4h}}$	16	8
${\displaystyle a=b=c}$	Куб	${\displaystyle O_{h}}$	48	24

Последние два случая имеют соответственно пять и девять плоскостей зеркальной симметрии, тогда как общий случай — три. При этом комбинаторное строение тела во всех случаях остаётся одинаковым; изменяется число сохраняющих расстояния преобразований, совмещающих его с собой^[11].

Сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через его внутренние точки, является выпуклым многоугольником с числом сторон от трёх до шести. Каждая сторона сечения лежит в одной из шести граней. В зависимости от положения секущей плоскости могут получаться треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и шестиугольники. При касании тела плоскостью пересечение может вырождаться в вершину или ребро либо совпадать с целой гранью^[12].

Плоскость, параллельная одной из граней и пересекающая внутренность тела, даёт прямоугольник, равный этой грани. Диагональным называют сечение плоскостью, проходящей через два параллельных ребра, не лежащих в одной грани. Например, ${\displaystyle ACC_{1}A_{1}}$ — прямоугольник со сторонами ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ и ${\displaystyle c}$; его площадь равна

${\displaystyle S_{\text{сеч}}=c{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Остальные типы диагональных сечений имеют площади ${\displaystyle b{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$ и ${\displaystyle a{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}$. Каждое такое сечение делит тело на две равные прямые треугольные призмы^[3].

Всякое сечение плоскостью через центр ${\displaystyle O}$ центрально-симметрично. Если такая плоскость пересекает внутренность тела и не содержит его рёбер, сечение имеет четыре или шесть сторон; центральное треугольное или пятиугольное сечение невозможно. Это следует из того, что центральная симметрия тела сохраняет любую плоскость, проходящую через его центр.

Для куба с ребром ${\displaystyle a}$ плоскость ${\displaystyle x+y+z=3a/2}$ проходит через середины шести рёбер и образует правильный шестиугольник. Его сторона равна ${\displaystyle a/{\sqrt {2}}}$, а площадь — ${\displaystyle 3{\sqrt {3}}\,a^{2}/4}$. Для прямоугольного параллелепипеда с неравными измерениями аналогичная плоскость ${\displaystyle x/a+y/b+z/c=3/2}$ также проходит через шесть середин рёбер, но получающийся центрально-симметричный шестиугольник в общем случае не является правильным^[8].

Развёртка поверхности прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, размещённых в одной плоскости после разрезания поверхности по некоторым рёбрам и разворачивания оставшихся соединений. В неперекрывающейся развёртке сумма площадей прямоугольников равна площади полной поверхности тела^[7].

Одна из развёрток получается из полосы четырёх боковых граней высотой ${\displaystyle c}$ и последовательно чередующимися ширинами ${\displaystyle a,b,a,b}$. Два прямоугольника размером ${\displaystyle a\times b}$ присоединяются к противоположным горизонтальным сторонам одной из граней размером ${\displaystyle a\times c}$. При сгибании эта полоса замыкается, а присоединённые прямоугольники образуют основания.

Развёртка сохраняет истинные размеры граней. Аксонометрический рисунок пространственного тела, напротив, обычно изображает прямоугольные грани в виде параллелограммов: это результат проецирования, а не изменение геометрии самого тела^[12].

Комбинаторная структура развёрток прямоугольного параллелепипеда зависит от соотношения его измерений. Если все три измерения различны (${\displaystyle a\neq b\neq c}$), существует ровно 54 топологически различных развёртки. В частном случае куба (${\displaystyle a=b=c}$) из-за появления дополнительной симметрии количество различных развёрток сокращается до 11^[13]. При этом не любая композиция из шести прямоугольников, удовлетворяющая условию связности, может быть свёрнута в параллелепипед без самопересечений.

Среди прямоугольных параллелепипедов заданного объёма наименьшую площадь поверхности имеет куб. Это следует из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, применённого к трём положительным числам ${\displaystyle ab}$, ${\displaystyle bc}$ и ${\displaystyle ca}$^[14].

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 3{\sqrt[{3}]{(ab)(bc)(ca)}}=3(abc)^{2/3}.}$

Следовательно,

${\displaystyle S\geq 6V^{2/3}.}$

Равенство достигается только при ${\displaystyle ab=bc=ca}$, то есть при ${\displaystyle a=b=c}$. То же соотношение означает, что при заданной площади полной поверхности наибольший объём равен ${\displaystyle (S/6)^{3/2}}$ и достигается у куба.

При фиксированной длине пространственной диагонали ${\displaystyle d}$ максимальный объём также имеет куб:

${\displaystyle V\leq {\frac {d^{3}}{3{\sqrt {3}}}}.}$

Здесь неравенство о средних применяется к ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle b^{2}}$ и ${\displaystyle c^{2}}$; равенство возможно только при ${\displaystyle a=b=c=d/{\sqrt {3}}}$. Эти утверждения относятся к классу прямоугольных параллелепипедов и сами по себе не описывают экстремальные свойства всех пространственных тел.

Прямоугольный параллелепипед является трёхмерным случаем ортотопа, или гиперпрямоугольника. В евклидовом пространстве размерности ${\displaystyle n}$ такой многогранник, с точностью до движения, задаётся произведением отрезков

${\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}[0,a_{i}],\qquad a_{i}>0.}$

При равенстве всех ${\displaystyle a_{i}}$ он является гиперкубом^[8].

Гиперпрямоугольник имеет ${\displaystyle 2^{n}}$ вершин, ${\displaystyle n2^{n-1}}$ рёбер и ${\displaystyle 2n}$ граней размерности ${\displaystyle n-1}$. Его ${\displaystyle n}$-мерный объём и длина главной диагонали выражаются формулами

${\displaystyle V_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i},\qquad d_{n}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}.}$

Для ${\displaystyle n\geq 2}$ мера границы размерности ${\displaystyle n-1}$ равна

${\displaystyle S_{n-1}=2\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}a_{j}.}$

При ${\displaystyle n=3}$ эти выражения переходят в обычные формулы для объёма, диагонали и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда^[8].