Полуправильный многогранник

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер^[1]. Все рёбра правильного многогранника равны друг другу. Можно доказать, что равны также все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром. Существует пять правильных выпуклых многогранников, их ещё называют тела Платона: правильный тетраэдр (от греческого — четырёхгранник), куб (также называют «гексаэдром», от греческого — шестигранник), октаэдр (от греческого — восьмигранник), додекаэдр (от греческого — двенадцатигранник), икосаэдр (от греческого — двадцатигранник)^[2].

Двойственными называют такие многогранники, которые переходят друг в друга при полярном преобразовании относительно вписанной или описанной сферы^[3].

Архимед впервые подробно описал все 13 полуправильных многогранников в своём труде, который не дошёл до наших дней в оригинале. Однако об этом открытии известно благодаря записям другого известного геометра — Паппа Александрийского. Архимед классифицировал их, строго доказав, что при соблюдении условия «грани — правильные многоугольники разных типов, а вершины устроены одинаково» может существовать ровно 13 таких фигур.

Архимедовы тела обладают двумя свойствами:

• Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов;
• для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую. В частности,
  • все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Все архимедовы тела являются правильногранными многогранниками.

Многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани — правильные многоугольники нескольких видов называют равноугольно полуправильными многогранниками.

Призмы и антипризмы

Простейшим из равноугольно полуправильных многогранников является правильная ${\displaystyle n}$-угольная призма (${\displaystyle n=3,5,6...}$), все рёбра которой равны, а боковые грани — квадраты. Основания, например, шестиугольной призмы — правильные шестиугольники: у неё ${\displaystyle 12}$ вершин, ${\displaystyle 8}$ граней и ${\displaystyle 18}$ рёбер.

Другой представитель равноугольно полуправильных многогранников — так называемая антипризма. Представляет собой два правильных шестиугольника, расположенных в параллельных плоскостях, один из которых повёрнут вокруг центра относительно другого на 30°. Каждая вершина как нижнего, так и верхнего шестиугольников, соединена с двумя ближайшими вершинами другого. Расстояние между шестиугольниками (основаниями) подбирается так, чтобы боковыми гранями были правильные треугольники. У шестиугольной антипризмы ${\displaystyle 12}$ вершин, ${\displaystyle 14}$ граней и ${\displaystyle 24}$ ребра, все рёбра и все четырёхгранные углы равны между собой.

Используя для призм и антипризм все правильные многоугольники, получают бесконечные серии полуправильных многогранников^[5].

Двойственные многогранники

Тела, двойственные архимедовым, имеют конгруэнтные грани (переводимые друг в друга сдвигом, вращением или отражением), равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Существует 13 архимедовых тел. Соответственно, существует 13 двойственных им тел.

Футбольный мяч Adidas Telstar, выпущенный в 1970 году к чемпионату мира по футболу, стал культовым символом футбола. Белые шестиугольники этого мяча, окружённые чёрными пятиугольниками, образуют усечённый икосаэдр.

Классический футбольный мяч, сшитый из чёрных пятиугольников и белых шестиугольников, — это пример полуправильного многогранника. Поверхность такого мяча состоит из «слегка искривлённых» ${\displaystyle 12}$ правильных пятиугольников чёрного цвета и ${\displaystyle 20}$ правильных белых шестиугольников.

Как получить такой многогранник?

Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников (двадцатигранник). У икосаэдра ${\displaystyle 12}$ вершин, ${\displaystyle 20}$ граней — правильных треугольников и ${\displaystyle 30}$ рёбер. «Отрежем» (отсечём) вершины икосаэдра, отступив от вершин вдоль прямых, направленных в центр, на столько, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками. Срезы будут правильными пятиугольниками. Получившаяся фигура и есть усечённый икосаэдр. При «наполнении воздухом» модели (усечённого икосаэдра) она принимает форму сферы, становится футбольным мячом. При этом вершины усечённого икосаэдра совпадут с «вершинами» мяча, рёбра перейдут в швы, а грани — в слегка искривлённые многоугольники на поверхности мяча. Таким образом получится мяч — центральная проекция усечённого икосаэдра на сферу^[6].

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ: Полуправильные многогранники

Геометрия в старшей школе не ограничивается рамками экзамена. Прокачать пространственное мышление, увидеть красивую симметрию и научиться применять координатный или векторный метод гораздо проще на красивых и гармоничных фигурах.

Классификация: к выпуклым полуправильным многогранникам относятся 13 архимедовых тел, две бесконечные серии — призмы и антипризмы. Иногда включают, двойственные архимедовым телам. Кроме выпуклых многогранников, существуют невыпуклые (звёздчатые) многогранники.

Интересные факты о кубооктаэдре:

• Радиус равен ребру: если вокруг кубооктаэдра описать шар (сферу), то расстояние от центра этой сферы до любой вершины будет ровно равно длине ребра этого многогранника. Точно такое же свойство на плоскости имеет правильный шестиугольник!
• Его легко собрать вживую: если у вас есть магнитный конструктор (где есть квадраты и треугольники), вы можете легко собрать его: просто окружите каждый квадрат четырьмя треугольниками, а каждый треугольник — тремя квадратами. Фигура «закроется» сама собой.