Теорема Эйлера для многогранников

Пусть ${\displaystyle \mathrm {B} }$ — число вершин выпуклого многогранника, ${\displaystyle \mathrm {P} }$ — число его рёбер и ${\displaystyle \Gamma }$ — число граней. Тогда верно равенство

${\displaystyle \mathrm {B} -\mathrm {P} +\Gamma =2}$

Примеры для правильных многогранников:

В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно ${\displaystyle 360^{\circ }(\mathrm {P} -\Gamma )}$ и ${\displaystyle 360^{\circ }(\mathrm {B} -2)}$. Из этого непосредственно следует утверждение теоремы.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.

Долгое время считалось, что соотношение Эйлера справедливо для любых многогранников. Первый контрпример дал Симон Люилье в 1812 г.; при рассмотрении коллекции минералов он обратил внимание на прозрачный кристалл полевого шпата, внутри которого был чёрный кубический кристалл сернистого свинца. Люилье понял, что куб с кубической полостью внутри не подчиняется формуле Эйлера. Позже были обнаружены и другие контрпримеры (например, два тетраэдра, склеенные по ребру или имеющие общую вершину), и формулировка теоремы была уточнена: она верна для многогранников, топологически эквивалентных сфере^[1].

• Эйлерова характеристика обобщает формулу Эйлера на многогранники с любым количеством дыр и даже, в более сложном виде, на топологические пространства.
• Формула Эйлера для связного плоского графа имеет тот же вид, однако применима к любым плоским графам, а не только к тем, которые могут быть каркасами многогранников в трёхмерном пространстве.