Смешанное произведение

Скалярное смешанное произведение (также называемое смешанным произведением, коробочным произведением или тройным скалярным произведением) определяется как скалярное произведение одного из векторов на векторное произведение двух других.

Геометрически скалярное смешанное произведение

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

является (ориентированным) объёмом параллелепипеда, определённого тремя заданными векторами.

• Скалярное смешанное произведение не изменяется при циклическом сдвиге трёх операндов (a, b, c):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• Перестановка местами операторов без изменения порядка операндов не изменяет значение смешанного произведения. Это следует из предыдущего свойства и коммутативности скалярного произведения:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

• Перестановка любых двух из трёх операндов меняет знак смешанного произведения. Это следует из свойства циклического сдвига и антикоммутативности векторного произведения:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

• Скалярное смешанное произведение также может быть представлено как определитель матрицы 3×3, строки или столбцы которой образуют три вектора (определитель матрицы равен определителю её транспонированной):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.}$

• Если скалярное смешанное произведение равно нулю, то три вектора a, b и c компланарны, так как определяемый ими параллелепипед вырождается в плоскость и его объём равен нулю.
• Если любые два вектора в скалярном смешанном произведении совпадают, то его значение равно нулю:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• Также:

  ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• Обыкновенное произведение двух смешанных произведений (или квадрат смешанного произведения) может быть выражено через скалярные произведения:^[1]
  $${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$$

  
  Это выражает в векторном виде, что произведение определителей двух 3 × 3 матриц равно определителю их произведения. В частности, квадрат смешанного произведения — это Грамов определитель. Заметим, что этот определитель корректно определён для векторов в R^m (m-мерное Евклидово пространство), даже если m ≠ 3; в частности, модуль смешанного произведения для трёх векторов в R^m может быть вычислен по этой формуле для квадрата смешанного произведения как квадратный корень:
  $${\displaystyle |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\sqrt {\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} \end{bmatrix}}}}}$$

  
• Отношение смешанного произведения к произведению норм трёх векторов называется полярный синус:
  $${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\left\|{\mathbf {a} }\right\|\left\|{\mathbf {b} }\right\|\left\|{\mathbf {c} }\right\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$$

  
  который принимает значения от −1 до 1.

Строго говоря, скаляр не изменяется при преобразовании координат. (Например, множитель 2 при удвоении вектора не зависит от того, записан ли вектор в сферических или прямоугольных координатах.) Однако если каждый вектор преобразуется матрицей, то смешанное произведение умножается на определитель матрицы преобразования. То есть, смешанное произведение ковариантных векторов корректнее описывать как скалярную плотность.

$${\displaystyle {\begin{aligned}T\mathbf {a} \cdot (T\mathbf {b} \times T\mathbf {c} )&=\det {\begin{pmatrix}T\mathbf {a} &T\mathbf {b} &T\mathbf {c} \end{pmatrix}}\\&=\det \left(T{\begin{pmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{pmatrix}}\right)\\&=\det(T)\det \!{\begin{pmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{pmatrix}}\\&=\det(T)\left(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right)\end{aligned}}}$$

Некоторые авторы используют термин «псевдоскаляр» для обозначения объекта, который выглядит как скаляр, но преобразуется иначе. Поскольку смешанное произведение преобразуется как скалярная плотность, а не как скаляр, его можно назвать «псевдоскаляром» в этом широком смысле. Однако смешанное произведение не является «псевдоскалярной плотностью».

Если преобразование — сохраняющее ориентацию вращение, его определитель равен +1, и смешанное произведение не изменяется. Если преобразование — обращающее ориентацию вращение, его определитель равен −1, и смешанное произведение меняет знак. В общем случае определитель преобразования может быть любым числом, отличным от +1 и −1.

В внешней алгебре и геометрической алгебре внешнее произведение двух векторов — это бивектор, а внешнее произведение трёх векторов — тривектор. Бивектор — ориентированный элемент плоскости, а тривектор — ориентированный элемент объёма, аналогично тому, как вектор — ориентированный элемент прямой.

Для векторов a, b и c произведение

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$

является тривектором с модулем, равным скалярному смешанному произведению, то есть

${\displaystyle |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$,

и является Годжевым двойственным к скалярному смешанному произведению. Поскольку внешнее произведение ассоциативно, скобки не требуются, то есть неважно, какое из a ∧ b или b ∧ c вычислять первым, однако порядок векторов в произведении важен. Геометрически тривектор a ∧ b ∧ c соответствует параллелепипеду, натянутому на a, b и c, а бивекторы a ∧ b, b ∧ c и a ∧ c соответствуют параллелограммам — граням параллелепипеда.

Смешанное произведение совпадает с объёмной формой евклидова трёхмерного пространства, применённой к вектору через внутреннее произведение. Также оно может быть выражено как свёртка векторов с тензором ранга 3, эквивалентным этой форме (или псевдотензором, эквивалентным объёмной псевдоформе); см. ниже.

Векторное смешанное произведение определяется как векторное произведение одного вектора с векторным произведением двух других. Выполняется следующее соотношение:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$.

Это известно как разложение смешанного произведения, или формула Лагранжа^[2][3], хотя последнее название используется и для других формул. Правая часть формулы легко запоминается с помощью мнемоники «ACB − ABC», если помнить, какие векторы скалярно перемножаются. Доказательство приведено ниже. В некоторых учебниках тождество записывается как ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$, что даёт более привычную мнемонику «BAC − CAB» (back of the cab).

Поскольку векторное произведение антикоммутативно, формулу можно записать (с точностью до перестановки букв) так:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

Из формулы Лагранжа следует, что векторное смешанное произведение удовлетворяет:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} }$

что является тождеством Якоби для векторного произведения. Ещё одно полезное соотношение:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

Эти формулы широко используются для упрощения векторных вычислений в физике. Связанное тождество для градиентов, полезное в векторном анализе, — формула Лагранжа для векторного произведения:^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$

Это также можно рассматривать как частный случай более общего оператора Лапласа — де Рама ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$.

Компонента ${\displaystyle x}$ выражения ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$ равна:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

Аналогично, компоненты ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ выражения ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$ равны:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

Объединяя эти три компоненты, получаем:

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^[5]

В геометрической алгебре векторное произведение b × c выражается как их внешнее произведение b∧c, то есть бивектор. Второе векторное произведение не может быть выражено как внешнее произведение, иначе получится скалярное смешанное произведение. Вместо этого используется левая свёртка^[6], и формула принимает вид^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

Доказательство следует из свойств свёртки^[6]. Результат совпадает с вычислением a × (b × c).

В геометрической алгебре три бивектора также могут образовывать тройное произведение. Эта операция аналогична стандартному тройному векторному произведению. Антисимметричное произведение трёх бивекторов:

${\displaystyle {\overset {\Rightarrow }{a}}\times \left({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}}\right)=-\left({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}\right){\overset {\Rightarrow }{b}}+\left({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}\right){\overset {\Rightarrow }{c}}}$

Доказательство проводится путём взятия двойственного элемента от геометрической алгебраической версии тройного векторного произведения до тех пор, пока все векторы не станут бивекторами.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&(-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )-(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&=-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\\&(-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}\mathbf {c} -\mathbf {c} {\overset {\Rightarrow }{b}})-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}\mathbf {c} -\mathbf {c} {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&=-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\cdot \mathbf {c} )\\&(-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\cdot \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{c}}-{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{b}})-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{c}}-{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&={\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}})\end{alignedat}}}$

Это три двойственных преобразования. То же самое нужно сделать и для левой части:

${\displaystyle {\begin{aligned}&((((\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} )\star )\star )\star \\&={\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{a}}{\overset {\Rightarrow }{c}}+{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{a}}){\overset {\Rightarrow }{b}}-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{a}}{\overset {\Rightarrow }{b}}+{\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{a}}){\overset {\Rightarrow }{c}}\\&=({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}){\overset {\Rightarrow }{b}}+({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{c}}\end{aligned}}}$

Меняя знак обеих частей, получаем:

${\displaystyle {\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}})=-({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}){\overset {\Rightarrow }{b}}+({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{c}}}$

В таких областях, как дифференциальная геометрия, специальная теория относительности и теоретическая физика, бывает полезно выражать компоненты смешанных произведений с помощью тензорных обозначений.

Это позволяет получить инвариантное относительно базиса (или координатно-независимое) выражение свойств произведения.

Скалярное смешанное произведение выражается через символ Леви-Чивиты:^[8]

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$$

$${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m}b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},}$$

${\displaystyle i}$

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,}$

${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

${\displaystyle \delta _{j}^{i}=0}$

${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle \delta _{j}^{i}=1}$

${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle \delta _{ij}^{\ell m}}$

${\displaystyle k}$

${\displaystyle i}$

${\displaystyle j}$

${\displaystyle i=\ell }$

${\displaystyle j=m}$

${\displaystyle i=m}$

${\displaystyle \ell =j}$

Возвращаясь к тройному векторному произведению,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]\right)_{i}&=\left(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\right)a^{j}b_{\ell }c_{m}\\[1ex]&=a^{j}b_{i}c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.\end{aligned}}}$$