Теорема

Наиболее часто встречаются теоремы, имеющие следующую логическую структуру:

${\displaystyle \forall z(A(z))\rightarrow B(z)}$.

У такой теоремы можно выделить следующие части.

1. Разъяснительная часть — здесь указываются множества объектов, о которых говорится в теореме. Переменная ${\displaystyle z}$ обозначает объекты из данных множеств. При этом переменная может обозначать один объект или несколько.
2. Условие теоремы (то, что дано) — предикат ${\displaystyle A(z)}$.
3. Заключение теоремы (то, что требуется доказать) — предикат ${\displaystyle B(z)}$.

В общем случае предикаты ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ могут иметь сложную структуру и являться, например, конъюнкцией или дизъюнкцией предложений. При формулировке теоремы условие и разъяснительную часть часто объединяют в одно предложение, которое начинается со слова «пусть». Формулировку заключения начинают со слов «тогда», «в этом случае» и т. п.^[3]

Любую теорему вида ${\displaystyle \forall z(A(z))\rightarrow B(z)}$ кратко можно сформулировать в одной из следующих форм.

1. «Пусть ${\displaystyle A}$, тогда ${\displaystyle B}$», или «Всегда, когда ${\displaystyle A}$, тогда ${\displaystyle B}$».
2. «Если ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle B}$».

Первое предложение называют категоричной формой теоремы, второе —условной формой^[3].

Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения, сформулированная в категоричной форме.

«Пусть дано приведённое квадратное уравнение ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$, которое имеет два действительных корня. Тогда произведение корней равно ${\displaystyle q}$, а сумма корней равна коэффициенту ${\displaystyle (-p)}$».

Теорема Виета, сформулированная в условной форме.

«Если ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ – действительные корни уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$, то ${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=q}$ и ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p}$».

Теоремы можно классифицировать по предмету — алгебраические, теоретико-числовые, геометрические, топологические, теоретико-вероятностные и т. д.^[4]

По числу условий (либо заключений):

• простая теорема — теорема, содержащая лишь одно условие и заключение;
• сложная теорема — теорема, содержащая несколько условий или заключений.

По форме:

• теорема сформулирована в условной форме;
• теорема сформулирована в категоричной форме^[5].

По логике построения предложения:

• данная теорема;
• обратная теорема;
• противоположная теорема;
• контрапозитивная теорема.

Такие теоремы утверждают существование объектов (или ровно одного объекта), удовлетворяющих определённым свойствам. Их заключение содержит квантор существования ${\displaystyle \exists }$.

Теорема о плотности множества рациональных чисел, записанная в условной форме.

«Если ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — различные действительные числа, то существует рациональное число ${\displaystyle t}$, которое лежит между ними». 

Используя предикаты ${\displaystyle A(x,y)=}$ «${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — различные действительные числа» и ${\displaystyle P(t,x,y)=}$ «${\displaystyle t}$ — рациональное число, которое лежит между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$», теорему можно записать в следующем виде: ${\displaystyle \forall x\forall y(A(x,y))\rightarrow \exists tP(t,x,y))}$.

Часто встречаются теоремы, в которых утверждается существование ровно одного объекта, обладающего некоторым свойством. Такие теоремы называются теоремами существования и единственности. Предложение «Существует ровно один объект, обладающий свойством ${\displaystyle P}$» кратко записывают формулой ${\displaystyle \exists !xP(x)}$ или ${\displaystyle \exists _{1}xP(x)}$. Другие варианты чтения этого предложения:

• «Существует единственный объект, обладающий свойством ${\displaystyle P}$».
• «Существует единственный ${\displaystyle x}$, такой, что ${\displaystyle P(x)}$».
• «Существует объект, обладающий свойством ${\displaystyle P}$, и притом только один».

Предложение ${\displaystyle \exists !xP(x)}$ равносильно конъюнкции двух предложений: ${\displaystyle A=}$ «Существует хотя бы один объект, обладающий свойством ${\displaystyle P}$» и ${\displaystyle B=}$ «Если существует объект, обладающий свойством ${\displaystyle P}$, то только один».

Теорема о вписанной в треугольник окружности

«В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну».

Эта теорема равносильна конъюнкции двух следующих теорем: «В любой треугольник можно вписать окружность» — теорема существования. «Любые две окружности, вписанные в треугольник, совпадают» — теорема о единственности окружности^[6].

Математическая теорема, получившая особый статус в связи с ключевой ролью для развития какой-либо из областей математики, при этом не обязательно этот статус связан со сложностью или элементарностью формулировки или доказательства. У основных теорем есть ряд общих признаков, так, кроме того, что они вскрывают фундаментальные закономерности, они часто связывают несколько разных разделов математики, допускают кардинально различные доказательства, обладают богатой историей. Теоремы, получившие статус основных в главных ветвях математики: основная теорема арифметики, основная теорема алгебры, основная теорема анализа. Во многих разделах и подразделах выделяются собственные основные теоремы, например, основная теорема теории Галуа выражает главный результат теории Галуа.

Теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключение — условием. Обратной к обратной теореме является исходная (прямая) теорема. Таким образом, прямая и обратная теоремы взаимно обратны. Например, теоремы «если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны» и «если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны» являются обратными друг другу. Из справедливости какой-либо теоремы не следует справедливость обратной к ней теоремы. Например, теорема «если число делится на 6, то оно делится и на 3» верна, а обратная теорема «если число делится на 3, то оно делится и на 6» неверна. Даже если обратная теорема верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Известный способ «доказательства от противного» представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения^[7].

Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации ${\displaystyle A\Rightarrow B}$, в которой посылка ${\displaystyle A}$ является условием теоремы, а следствие ${\displaystyle B}$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$, является противоположной к ней. Здесь ${\displaystyle {\overline {A}}}$ — отрицание ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle {\overline {B}}}$ — отрицание ${\displaystyle B}$. Доказательство необходимости и достаточности условий ${\displaystyle A}$ теоремы ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ для её заключения ${\displaystyle B}$ сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем (${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$; ${\displaystyle B\Rightarrow A}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}}$) или одной из двух обратных теорем (${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle B\Rightarrow A}$; ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}}$)^[7].

С точки зрения логики, многие теоремы имеют форму условного обозначения: если A, то B. Такая теорема утверждает не истинность B, а только то, что B является необходимым следствием A. В этом случае A называется логической гипотезой теоремы, а B — выводом (формально A и B называются предшествующим и последующим утверждениями). Следует подчеркнуть, что логическая гипотеза и математическая гипотеза — суть разные понятия. Так, утверждение «Если n — чётное натуральное число, то n / 2 — натуральное число» — пример теоремы, в которой гипотезой является утверждение «n — чётное натуральное число», а утверждение «n / 2 — также натуральное число» является выводом.

Для доказательства теорема должна быть выражена в виде точного формального утверждения. Тем не менее для удобства читателя теоремы обычно выражаются не в полностью символической форме, а на естественном языке. Читатель же самостоятельно преобразует неформальное утверждение в формальное.

В математике часто выбирают несколько гипотез и создают теорию, которая состоит из всех утверждений, логически вытекающих из этих гипотез. Гипотезы, которые составляют основу теории, называются аксиомами или постулатами. Область математики, изучающая формальные языки, аксиомы и структуру доказательств, называется теорией доказательств.

Некоторые теоремы «тривиальны» в том смысле, что они очевидным образом следуют из определений, аксиом и других теорем и не содержат никаких удивительных идей. С другой стороны, некоторые теоремы могут быть названы «глубокими», потому что их доказательства могут быть длинными и трудными, включать области математики, внешне отличные от формулировки самой теоремы, или демонстрировать удивительные связи между различными областями математики. Теорема может быть простой в изложении и в то же время глубокой. Прекрасным примером глубокой теоремы является Великая теорема Ферма. В теории чисел и в комбинаторике, а также в других областях математики имеется множество примеров простых в изложении, но глубоких теорем.

С другой стороны, есть теоремы, имеющие доказательство, которое невозможно записать в простом виде. Наиболее яркими примерами таких теорем являются теорема о четырёх цветах и гипотеза Кеплера. Обе эти теоремы известны тем, что они сводятся к определённому алгоритму, который затем проверяется компьютерной программой. Первоначально многие математики не принимали эту форму доказательства, но сейчас она стала разрешённой. Математик Дорон Цейлбергер даже утверждает, что это, пожалуй, единственные нетривиальные результаты, которые когда-либо были доказаны математиками. Многие математические теоремы могут быть сведены к более простым вычислениям, включая полиномиальные тождества, тригонометрические тождества и гипергеометрические тождества.

Под методом доказательств теорем подразумевается способ связи аргументов при переходе от условия к заключению. Чтобы установить математическое утверждение в качестве теоремы, требуется доказательство, то есть должна быть продемонстрирована линия рассуждений от аксиом в системе (и других уже установленных теорем) к данному утверждению. Однако доказательство обычно рассматривается отдельно от утверждения теоремы. Хотя для одной теоремы может быть известно более одного доказательства, для установления статуса утверждения как теоремы требуется только одно доказательство.

Когда говорят о формальном доказательстве, прежде всего описывают формальную модель — множество аксиом, записанных с помощью формального языка, и правил вывода. Формальным доказательством утверждения называется формальный вывод, последней строкой которого является данное утверждение. Множество всех теорем в данной формальной модели (рассматриваемое вместе с алфавитом формального языка, множествами аксиом и правил вывода) называется формальной теорией. Формальными доказательствами занимается специальная ветвь математики — теория доказательств.

Одним из методов формального доказательства является прямое доказательство, которое предусматривает применение только непосредственного дедуктивного вывода из считающихся верными утверждений (аксиом, ранее доказанных лемм и теорем), без использования суждений с отрицанием каких-либо утверждений.

Индуктивный метод, позволяющий перейти от частных утверждений ко всеобщим, наиболее интересен в применении к бесконечным совокупностям объектов, но его формулировки и применимость существенно отличаются в зависимости от сферы применения. Метод математической индукции естественным образом может быть применён для любых счётных совокупностей объектов, считается надёжным и применимым как в классических, так и в интуиционистских и конструктивных системах доказательств.

В этом случае доказательство некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Схемой доказательства от противного называют схему:

${\displaystyle {\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]&&\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B}}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {A}}}.}$

Данная схема похожа на схему доказательства приведением к нелепости. В связи с этим их часто путают. Однако несмотря на некоторое сходство, они различаются не только по форме, но и по существу, и различие это носит принципиальный характер^[8].

Этот метод называют также «Доведение до абсурда» или апагогия^[9]. Схема такого доказательства известна как схема введения отрицания ${\displaystyle (\neg B)}$:

${\displaystyle {\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {A}}\right]&&\left[{\mathcal {A}}\right]\\{\mathcal {B}}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {\neg A}}}.}$

Метод приведения к нелепости используется в математической логике в виде умозаключения^[10].

Теоремы в математике и теории в науке принципиально отличаются по своей эпистемологии . Научная теория не может быть доказана; её ключевой атрибут заключается в том, что он фальсифицируется, то есть он делает предсказания о мире природы, которые можно проверить экспериментально . Любое несоответствие между предсказанием и экспериментом демонстрирует неверность научной теории или, по крайней мере, ограничивает её точность или область действия. Математические теоремы, с другой стороны, являются чисто абстрактными формальными утверждениями: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические доказательства так же, как эти доказательства используются для поддержки научных теорий.

Тем не менее существует определённая степень эмпиризма и сбора данных, связанных с открытием математических теорем. Устанавливая модель, иногда с использованием мощного компьютера, математики могут иметь представление о том, что доказывать, а в некоторых случаях даже о том, как приступить к выполнению доказательства. Например, гипотеза Коллатца была проверена для начальных значений примерно до 2,88 × 10 ¹⁸. Гипотеза Римана была проверена для первых 10 триллионов нулей дзета-функции . Ни одно из этих утверждений не считается доказанным.

Такие свидетельства не являются доказательством. Например, гипотеза Мертенса — это некоторое неверное утверждение о натуральных числах, однако явный контпример неизвестен. Известно только, что наименьший контрпример не меньше 10¹⁴ и не больше 10^{4,3 × 1039}. Найти явный контрпример с помощью полного перебора невозможно, однако известно, что он существует.

Слово «теория» также существует в математике для обозначения совокупности математических аксиом, определений и теорем, как, например, теория групп. Есть также «теоремы» в науке, особенно в физике, и в технике, но они часто имеют утверждения и доказательства, в которых физические предположения и интуиция играют важную роль; физические аксиомы, на которых основаны такие «теоремы», сами по себе фальсифицируемы.

Существует ряд различных терминов для математических утверждений; эти термины указывают на роль, которую заявления играют в конкретной теме. Несоответствие между различными терминами иногда довольно произвольно, и со временем некоторые термины стали использоваться чаще других.

• Аксиома или постулат — это утверждение, которое принимается без доказательств и считается фундаментальным для субъекта. В классической геометрии аксиомы являются общими утверждениями, а постулаты — утверждениями о свойствах геометрических объектов. Аксиома математической теории — это предложение, принимаемое в данной теории как истинное. Вопрос о доказательстве аксиомы не ставится. Выбор системы аксиом происходит так, чтобы в них были отражены основные свойства той области знаний, которую требуется описать на математическом языке. Аксиому можно проинтерпретировать, проиллюстрировать на примере, показать необходимость её выбора, но не доказать. Аксиомы представляют собой базовые утверждения, своего рода фундамент того или иного раздела математики. Для того чтобы доказывать теоремы, нужно последовательно опираться на верные предложения, но эта цепочка не может быть бесконечной. Аксиомы служат отправной точкой в цепочке доказательств.
• Определение также принимается без доказательств, поскольку оно просто даёт значение слова или фразы в терминах известных понятий.

• Непроверенное утверждение, которое считается верным, называется гипотезой. Чтобы считаться гипотезой, заявление обычно должно предлагаться публично, и в этот момент к предположению может быть присоединено имя инициатора, как и в случае с гипотезой Гольдбаха . Другие известные примеры гипотез: гипотеза Коллатца и гипотеза Римана. С другой стороны, великая теорема Ферма всегда была известна под этим именем, даже до того, как она была доказана; её никогда не называли «гипотезой Ферма».
• Предложение — теорема меньшей важности. Этот термин иногда означает утверждение с простым доказательством, в то время как термин теорема обычно зарезервирован для наиболее важных результатов или результатов с длинными или трудными доказательствами. Некоторые авторы никогда не используют термин «предложение», а другие используют термин «теорема» только для фундаментальных результатов. В классической геометрии этот термин использовался по-разному: в «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н. э.) все теоремы и геометрические конструкции назывались «суждениями» независимо от их важности.
• Лемма — это «вспомогательная теорема», предложение с малой применимостью, которое однако является частью доказательства большей теоремы. В некоторых случаях, когда относительная важность различных теорем становится более ясной, то, что когда-то считалось леммой, начинает считаться теоремой, хотя слово «лемма» остаётся в её названии. В качестве примеров можно привести лемму Гаусса, лемму Цорна и др.
• Следствием является утверждение, которое следует с небольшим доказательством из другой теоремы или определения. Также следствием может быть теорема, переформулированная для более ограниченного частного случая. Например, теорема о том, что все углы в прямоугольнике являются прямыми углами, имеет следствие того, что все углы в квадрате (частный случай прямоугольника) являются прямыми углами.
• Обобщением называется теорема, которая включает ранее доказанную теорему как частный случай, а значит, как следствие.

Существуют и другие, реже используемые термины, которые обычно присоединяются к доказанным утверждениям, поэтому некоторые теоремы упоминаются под историческими или общепринятыми названиями. Например:

• Тождество — это теорема о равенстве между двумя математическими выражениями, которое верно всегда независимо от того, какие значения используются для любых переменных или параметров, фигурирующих в выражениях. Примерами являются формула Эйлера и тождество Вандермонда.
• Правило — это теорема, которая устанавливает полезную формулу. Например, правило Байеса и правило Крамера.
• Закон или принцип — это теорема, которая применяется в широком диапазоне обстоятельств. Примерами можно считать закон больших чисел, закон Колмогорова «ноль — один», принцип Гарнака и принцип Дирихле.

Несколько известных теорем имеют особые названия: Алгоритм деления, Соотношение Безу (теорема, утверждающая, что наибольший общий делитель двух чисел может быть записан как линейная комбинация этих чисел), Парадокс Банаха — Тарского (теорема в теории меры, которая парадоксальна в том смысле, что противоречит распространённым представлениям об объёме в трёхмерном пространстве).