Группа кубика Рубика

Каждый из поворотов граней кубика Рубика может рассматриваться как элемент симметрической группы множества 48 этикеток кубика Рубика, не являющихся центрами граней. Пометим центры граней буквами ${\displaystyle \{L,F,R,B,U,D\}}$ (см. рисунок), а остальные этикетки — числами от 1 до 48. Теперь поворотам соответствующих граней на 90° по часовой стрелке можно сопоставить элементы симметрической группы ${\displaystyle S_{48}}$:

${\displaystyle L=(1,3,8,6)(2,5,7,4)(33,9,41,32)(36,12,44,29)(38,14,46,27)}$

${\displaystyle F=(9,11,16,14)(10,13,15,12)(38,17,43,8)(39,20,42,5)(40,22,41,3)}$

${\displaystyle R=(17,19,24,22)(18,21,23,20)(48,16,40,25)(45,13,37,28)(43,11,35,30)}$

${\displaystyle B=(25,27,32,30)(26,29,31,28)(19,33,6,48)(21,34,4,47)(24,35,1,46)}$

${\displaystyle U=(33,35,40,38)(34,37,39,36)(25,17,9,1)(26,18,10,2)(27,19,11,3)}$

${\displaystyle D=(41,43,48,46)(42,45,47,44)(6,14,22,30)(7,15,23,31)(8,16,24,32)}$

Тогда группа кубика Рубика ${\displaystyle G}$ определяется как подгруппа ${\displaystyle S_{48}}$, порождаемая поворотами шести граней на 90°^[2]:

${\displaystyle G=\langle L,F,R,B,U,D\rangle }$

Порядок группы ${\displaystyle G}$ равен^{[2][3][4][5][6]}

${\displaystyle |G|={\dfrac {8!\cdot 12!\cdot 3^{8}\cdot 2^{12}}{3\cdot 2\cdot 2}}=43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000=2^{27}\cdot 3^{14}\cdot 5^{3}\cdot 7^{2}\cdot 11.}$

Пусть ${\displaystyle K_{f}}$ — граф Кэли группы ${\displaystyle G}$ с 18 образующими, которые соответствуют 18 ходам метрики FTM.

Каждая из ${\displaystyle \approx 4{,}32\cdot 10^{19}}$ конфигураций может быть решена не более чем за 20 ходов FTM. Другими словами, эксцентриситет вершины графа ${\displaystyle K_{f}}$, соответствующей «собранному» состоянию головоломки, равен 20^[7].

Диаметр графа ${\displaystyle K_{f}}$ также равен 20^[8].

Наибольший порядок элемента в ${\displaystyle G}$ равен 1260. Например, последовательность ходов ${\displaystyle (R\ U^{2}\ D^{\prime }\ B\ D^{\prime })}$ необходимо повторить 1260 раз^[9], прежде чем кубик Рубика вернётся в исходное состояние^[10][11].

${\displaystyle G}$ не является абелевой группой, так как, например, ${\displaystyle FR\neq RF}$. Другими словами, не все пары элементов коммутируют^[12].

Каждая группа, порядок которой не превышает 12, изоморфна некоторой подгруппе группы кубика Рубика. Каждая неабелева группа, порядок которой не превышает 24, также изоморфна некоторой подгруппе группы кубика Рубика. Группы ${\displaystyle C_{13}}$ (циклическая группа порядка 13) и ${\displaystyle D_{26}}$ (диэдральная группа порядка 26) не изоморфны никаким подгруппам группы кубика Рубика^[13].

Центр группы состоит из элементов, коммутирующих с каждым элементом группы. Центр группы кубика Рубика состоит из двух элементов: тождественное преобразование и суперфлип^[5][13].

В июле 1981 года Jesper C. Gerved и Torben Maack Bisgaard доказали, что группа кубика Рубика содержит элементы 73 различных порядков от 1 до 1260, и нашли число элементов каждого возможного порядка^[14][15][16].

Порядок элемента	Последовательность поворотов граней
4	${\displaystyle F}$
6	${\displaystyle R^{2}U^{2}}$
63	${\displaystyle RU^{-1}}$
105	${\displaystyle RU}$
1260	${\displaystyle RU^{2}D^{-1}BD^{-1}}$

Группа кубика Рубика содержит циклические подгруппы порядков

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 90, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 154, 165, 168, 180, 198, 210, 231, 240, 252, 280, 315, 330, 336, 360, 420, 462, 495, 504, 630, 720, 840, 990, 1260.

Лишь один элемент (единичный элемент группы) имеет порядок 1; второй наиболее редкий порядок — 11 (44 590 694 400 элементов); около 10,6 % всех элементов (4 601 524 692 892 926 000) имеют порядок 60^[14][16].

В таблице приведены примеры последовательностей поворотов граней, соответствующих элементам некоторых порядков^[11][17][18].

Группа квадратов (square group, squares group) — подгруппа группы ${\displaystyle G}$, порождаемая поворотами граней на 180°^[5][19]:

${\displaystyle G_{sq}=\langle L^{2},F^{2},R^{2},B^{2},U^{2},D^{2}\rangle }$

Порядок группы квадратов равен 663 552^[20].

Группа квадратов используется в алгоритме Тистлетуэйта, с помощью которого удалось доказать достаточность 45 ходов для сборки кубика Рубика.

Этикетки, находящиеся в центрах граней кубика Рубика, не перемещаются, но поворачиваются. На обычном кубике Рубика ориентация центров граней невидима.

Группа всех преобразований кубика Рубика с видимыми ориентациями центров граней называется супергруппой кубика Рубика. Она в ${\displaystyle {\dfrac {4^{6}}{2}}=2048}$ раз больше группы ${\displaystyle G}$^[5].

На графе Кэли ${\displaystyle K_{q}}$ группы ${\displaystyle G}$ с 12 образующими, которые соответствуют ходам метрики QTM, существует гамильтонов цикл. Найденный цикл использует повороты только 5 из 6 граней^[21][22][23].

Существует соответствующая гипотеза Ловаса для произвольного графа Кэли.