Двугранный угол

Угол между перпендикулярами к ребру двугранного угла, восставленными в обеих гранях из одной точки, называется линейным углом двугранного угла.

За меру двугранного угла принимают величину его линейного угла. Вместо «мера двугранного угла есть тридцать градусов» говорят «двугранный угол равен тридцати градусам»^[2].

На рисунке показан линейный угол ${\displaystyle ABC}$, образованный перпендикулярами к ребру ${\displaystyle DE}$ двугранного угла, восставленными в обеих полуплоскостях из точки ${\displaystyle B}$^[3].

Линейный угол двугранного угла

Теорема

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу. 

Пусть даны две плоскости, заданные уравнениями

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\quad A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}>0}$,

${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0,\quad A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}>0}$ соответственно.

Углом между двумя плоскостями называют любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями. 

Один их этих двугранных углов равен углу ${\displaystyle \varphi }$ между нормальными векторами ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}=\{A_{1},B_{1},C_{1}\}}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}=\{A_{2},B_{2},C_{2}\}}$ этих плоскостей. Косинус угла ${\displaystyle \varphi }$ вычисляется по следующей формуле^[5]:

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2})}{|{}\mathbf {n} _{1}|{}\cdot |{}\mathbf {n} _{2}|{}}}={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}}}}$.