Додекаэдр Билинского

Додекаэдр Билинского можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;\pm \Phi ^{2}\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;\pm 1;\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm \Phi ;\;0;\;\pm \Phi \right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm \Phi ;\;\pm 1;\;0\right).}$

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Если додекаэдр Билинского имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {24}{\sqrt {5}}}\;a^{2}\approx 10{,}7331263a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {4}{5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a^{3}\approx 2{,}4621468a^{3}.}$

Впервые данный многогранник встречается под названием «додекаромб» в 1752 году на иллюстрации в книге английского математика Джона Лоджа Коули^[2][3].

Заново найден в 1960 году хорватским математиком Станко Билинским^[4], который назвал его «ромбическим додекаэдром второго рода»^[5]. Открытие Билинского заполнило остававшийся незамеченным 75 лет пробел в классификации выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями, описанной Евграфом Фёдоровым^[6].

Гарольд Коксетер в статье 1962 года^[7] ошибочно утверждал, что додекаэдр Билинского может быть получен аффинным преобразованием ромбододекаэдра. Это утверждение ложно^[6].