Рациональное число

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар ${\displaystyle \left\{(m,\;n)\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle (m,\;n)\sim (m',\;n')}$, если ${\displaystyle m\cdot n'=m'\cdot n}$. При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

• ${\displaystyle \left(m_{1},\;n_{1}\right)+\left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot n_{2}+m_{2}\cdot n_{1},\;n_{1}\cdot n_{2}\right);}$
• ${\displaystyle \left(m_{1},\;n_{1}\right)\cdot \left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot m_{2},\;n_{1}\cdot n_{2}\right).}$

Из определения видно, что никакие операции сложения или умножения не приводят к появлению пары вида ${\displaystyle (m,0).}$ Такое построение ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ как поля частных кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ описано, например, у Куроша^[6].

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанным числом. Например, ${\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}$. Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарной арифметике, избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Высота рационального числа (иногда называемая высотой дроби) — сумма модуля числителя и модуля знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу^[7]. Иначе говоря, если ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ — несократимое представление рационального числа, где ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle \gcd(|m|,n)=1}$, то его высота равна ${\displaystyle |m|+n}$. Например, чтобы узнать высоту рационального числа, задаваемого дробью ${\displaystyle -{\frac {15}{6}}}$, нужно сначала получить несократимую дробь. Несократимая дробь будет выглядеть так: ${\displaystyle -{\frac {5}{2}}}$. Потом нужно сложить модуль числителя и модуль знаменателя: ${\displaystyle 5+2=7}$. Значит, высота этого рационального числа равна ${\displaystyle 7}$.

Термин «дробное число (дробь)» иногда используется как синоним к термину «рациональное число», а иногда — как синоним любого нецелого числа. В последнем случае дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа — всего лишь частный случай дробных.

Множество рациональных чисел удовлетворяет перечисленным ниже свойствам. Часть из них аксиоматически задаёт ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ как поле, часть выводится из определения рационального числа^[8][9].

1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} }$) существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: «${\displaystyle <}$», «${\displaystyle >}$» или «${\displaystyle =}$». Это отношение порядка формулируется следующим образом:
   • два неотрицательных числа ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}}}$ и ${\displaystyle b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}}$ связаны тем же отношением, что и два целых числа ${\displaystyle m_{a}\cdot n_{b}}$ и ${\displaystyle m_{b}\cdot n_{a}}$;
   • два отрицательных числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа ${\displaystyle \left|b\right|}$ и ${\displaystyle \left|a\right|}$. Явно это означает:

     ${\displaystyle a<b\iff |a|>|b|,\qquad a=b\iff |a|=|b|,\qquad a>b\iff |a|<|b|.}$

     Иначе говоря, порядок отрицательных чисел противоположен порядку их модулей;

   • если же ${\displaystyle a}$ неотрицательно, а ${\displaystyle b}$ — отрицательно, то ${\displaystyle a>b}$.
2. Операция сложения. Для любых рациональных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} }$) существует бинарная операция сложения, которая ставит им в соответствие некоторое рациональное число ${\displaystyle c}$. При этом само число ${\displaystyle c}$ называется суммой чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и обозначается ${\displaystyle \left(a+b\right)}$, а процесс отыскания такого числа называется сложением. Правило сложения имеет следующий вид: ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\;b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}:a+b\equiv {\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}}$.
3. Операция умножения. Для любых рациональных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} }$) существует бинарная операция умножения, которая ставит им в соответствие некоторое рациональное число ${\displaystyle c}$. При этом само число ${\displaystyle c}$ называется произведением чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и обозначается ${\displaystyle \left(a\cdot b\right)}$, а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\;b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}:a\cdot b\equiv {\frac {m_{a}}{n_{a}}}\cdot {\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}}$.
4. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (\forall a,b,c\in \mathbb {Q} }$), если ${\displaystyle a}$ меньше ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b}$ меньше ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ меньше ${\displaystyle c}$, а если ${\displaystyle a}$ равно ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b}$ равно ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ равно ${\displaystyle c}$:

   ${\displaystyle a<b,\;b<c\;\Rightarrow a<c;\;\;\;a=b,\;b=c\;\Rightarrow a=c.}$

5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется%

   ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~~a+b=b+a}$.

6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат:

   ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)}$.

7. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании:

   ${\displaystyle \exists 0\in \mathbb {Q} :~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a+0=a}$.

8. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0:

   ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~\exists \left(-a\right)\in \mathbb {Q} :~~a+\left(-a\right)=0}$.

9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется:

   ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~~a\cdot b=b\cdot a}$.

10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат:

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)}$.

11. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении:

    ${\displaystyle \exists 1\in \mathbb {Q} :~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 1=a}$.

12. Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1:

    ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ,\;a\neq 0~\exists a^{-1}\in \mathbb {Q} :~~a\cdot a^{-1}=1}$.

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$.

14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число:

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~a<b\Leftrightarrow a+c<b+c}$.

15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число:

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ,\;c>0:a<b\Leftrightarrow a\cdot c<b\cdot c}$.

16. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число ${\displaystyle a}$, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт ${\displaystyle a}$:

    ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~\exists n\in \mathbb {N} :~~\sum _{k=1}^{n}1>a\;\;\Longleftrightarrow \;\forall a\in \mathbb {Q} \;\exists n\in \mathbb {N} :n>a}$^[10].

Ниже приведены некоторые свойства рациональных чисел, являющиеся следствиями свойств поля и порядка:

• отношение порядка «>» (с противоположным порядком аргументов) также транзитивно:

  ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} :a>b,\;b>c\Rightarrow a>c}$;

• произведение любого рационального числа на ноль равно нулю:

  ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 0=0}$;

• рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать:

  ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {Q} ~~a>b,\;c>d\Rightarrow a+c>b+d}$;

• множество рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ является полем (а именно полем частных кольца целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) относительно операций сложения и умножения дробей^[11]:

  ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+,\cdot \right)}$ — поле;

• в позиционной системе счисления рациональное число представляется периодической дробью. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является критерием рациональности вещественного числа^[12];
• каждое рациональное число является алгебраическим:

  ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} }$;

• между любыми двумя различными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ существует хотя бы одно рациональное число ${\displaystyle x}$, такое, что ${\displaystyle a<x}$ и ${\displaystyle x<b}$ (в качестве примера такого числа можно взять ${\displaystyle x=\textstyle {\frac {a+b}{2}}}$). Ясно, что между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle x}$, а также между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle b}$ тоже существует хотя бы по одному рациональному числу. Отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ существует бесконечно много рациональных чисел. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. В частности, не существует наименьшего положительного рационального числа;
• не существует наибольшего и наименьшего рационального числа. Для любого рационального числа ${\displaystyle x}$ найдутся рациональные (и даже целые) числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ такие, что ${\displaystyle a<x}$ и ${\displaystyle x<b}$.