Дуальные числа

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида $a+\varepsilon b$ , где $a$ и $b$ — вещественные числа, а $\varepsilon$ — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел $a$ и $b$ . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел $\mathbb {R}$ . В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид $a\varepsilon$ . Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами^[1], хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

Дуальные числа были введены во второй половине XIX века английским математиком Уильямом Клиффордом в 1873 году^[2]. Клиффорд предложил эту алгебраическую систему как инструмент для геометрических исследований, рассматривая её как частный случай гиперкомплексных чисел с нильпотентной единицей $\varepsilon$ , для которой выполняется условие $\varepsilon ^{2}=0$ .

В начале XX века значительный вклад в развитие теории дуальных чисел внёс немецкий математик Эдуард Штуди. Он использовал дуальные числа для представления «дуального угла» — величины, характеризующей взаимное расположение двух скрещивающихся прямых в трёхмерном пространстве^[3]. Штуди определял дуальный угол как $\theta +d\varepsilon$ , где $\theta$ — угол между направлениями двух прямых, а $d$ — кратчайшее расстояние между ними. Этот подход позволил применить методы сферической геометрии к задачам пространственной кинематики с помощью разработанного им «принципа переноса». В 1903 году вышла его фундаментальная работа «Geometrie der Dynamen» («Геометрия динам»), в которой были систематизированы геометрические приложения дуальных чисел^[4].

В 1906 году Йозеф Грюнвальд опубликовал статью «Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie» («О дуальных числах и их применении в геометрии») в журнале Monatshefte für Mathematik und Physik^[5]. В этой работе была представлена систематическая теория дуальных чисел и их использование в геометрии, что подтвердило интерес к этой алгебраической структуре в континентальной европейской математике. Исследования Грюнвальда опирались на предшествующие работы Штуди и развивали их^[4].

Дуальные числа являются одним из простейших примеров кольца с ненулевыми нильпотентными элементами^[6]. Их $n$ -мерное обобщение — числа Грассмана (внешняя алгебра) — было введено Германом Грассманом также в конце XIX века^[7]. В современной алгебре алгебра дуальных чисел часто определяется как факторкольцо $\mathbb {R} [x]/(x^{2})$ .

Алгебраическое определение

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида $(a,\;b)$ , для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

\ (a_{1},\;b_{1})+(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+a_{2},\;b_{1}+b_{2})

\ (a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})

Числа вида $(a,\;0)$ отождествляются при этом с вещественными числами, а число $(0,\;1)$ обозначается $\varepsilon$ , после чего определяющие тождества примут вид:

\varepsilon ^{2}=0,\quad (a,\;b)=a+b\varepsilon

(a_{1}+\varepsilon b_{1})+(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}+a_{2})+\varepsilon (b_{1}+b_{2}),

(a_{1}+\varepsilon b_{1})(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}a_{2})+\varepsilon (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо $\mathbb {R} [x]/(x^{2})$ кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом $x^{2}$ .

Матричное представление

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим $\varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ . Тогда произвольное дуальное число примет вид

a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}

.

Показательная форма

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

\mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

\mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+{\frac {(\varepsilon x)^{2}}{2!}}+{\frac {(\varepsilon x)^{3}}{3!}}+\cdots

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

\operatorname {sh} \varepsilon x=\sin \varepsilon x=\varepsilon x

\operatorname {ch} \varepsilon x=\cos \varepsilon x=1

Сложение
$(a+b\varepsilon )+(c+d\varepsilon )=(a+c)+(b+d)\varepsilon$
Вычитание
$(a+b\varepsilon )-(c+d\varepsilon )=(a-c)+(b-d)\varepsilon$
Умножение
$(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=(ac)+(bc+ad)\varepsilon$
Деление
${\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon$

Корень n-й степени из числа вида $a+\varepsilon b$ определяется как

{\sqrt[{n}]{a}}+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1}}}}}.

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию $f(x)$ , область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

Почему это так

Как известно,

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k},

то есть

(x+y\varepsilon )^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{n-k}(y\varepsilon )^{k},\qquad (1)

но так как все степени $\varepsilon$ больше единицы равны нулю, то

(x+y\varepsilon )^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y\varepsilon .

Теперь рассмотрим разложение функции в ряд Маклорена (с разложением в ряд Тейлора все аналогично):

f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {x^{k}}{k!}}.

Рассмотрим ту же функцию от дуального аргумента:

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {(x+y\varepsilon )^{k}}{k!}}.

По формуле (1) получаем

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}+kx^{k-1}y\varepsilon }{k!}}=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}}{k!}}+y\varepsilon \sum _{k=1}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}.

Второе слагаемое — не что иное, как разложение в ряд производной функции $f$ , то есть

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

Q.E.D.

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) $\varepsilon$ в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если $\delta$ — бесконечно малое число, то с точностью до $o(\delta )$ кольцо гипердействительных чисел вида $\mathbb {R} +\mathbb {R} \delta$ изоморфно кольцу дуальных чисел.

↑ Дж. Хамфри. Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — С. 121.
↑ Clifford, W. K. On the Theory of Biquaternions. — Proceedings of the London Mathematical Society. — 1873. — С. 13—20.
↑ Study, E. Geometrie der Dynamen. — Leipzig: B. G. Teubner, 1903.
↑ ¹ ² Хазенбанд М. А. Дуальные числа и их приложения. — Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 2006. — С. 14—16.
↑ Grünwald, J. Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie // Monatshefte für Mathematik und Physik. — 1906. — № 17. — С. 81—136.
↑ Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S. Hypercomplex Numbers: An Elementary Introduction to Algebras. — Springer-Verlag. — ISBN 978-3-642-74337-9.
↑ Грассман, Г., Г. Кантор. Учение о протяжении. — Теория линейного протяжения. О мнимых числах. — Харьков: Основа, 1910.

И. М. Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963. 192 с.
V.V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024 (англ.)

[1] Дж. Хамфри. Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — С. 121.

[2] Clifford, W. K. On the Theory of Biquaternions. — Proceedings of the London Mathematical Society. — 1873. — С. 13—20.

[3] Study, E. Geometrie der Dynamen. — Leipzig: B. G. Teubner, 1903.

[Хазенбанд-4] ¹ ² Хазенбанд М. А. Дуальные числа и их приложения. — Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 2006. — С. 14—16.

[5] Grünwald, J. Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie // Monatshefte für Mathematik und Physik. — 1906. — № 17. — С. 81—136.

[6] Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S. Hypercomplex Numbers: An Elementary Introduction to Algebras. — Springer-Verlag. — ISBN 978-3-642-74337-9.

[7] Грассман, Г., Г. Кантор. Учение о протяжении. — Теория линейного протяжения. О мнимых числах. — Харьков: Основа, 1910.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Целые ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Альтернионы Дуальные Гиперкомплексные Супердействительные Гипервещественные Сюрреальные
Инструменты расширения числовых систем	Процедура Кэли — Диксона Теорема Фробениуса Теорема Гурвица
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординалы) p-адические Супернатуральные числа Интервальные числа
См. также	Гиперболические числа Иррациональные числа Трансцендентные числа Числовой луч Бикватернион

Исчисление бесконечно малых и бесконечно больших
История	Нотация Лейбница Знак интеграла Метод неделимых
Связанные направления	Нестандартный анализ
Формализмы	Дифференциал
Концепции	Стандартная часть числа Принцип перехода Гиперцелое Теорема приращения Монада Внутреннее множество Поле Леви-Чивиты Гиперконечное множество Закон непрерывности Переполнение Микронепрерывность Трансцендентный закон гомогенности
Учёные	Архимед Лейбниц Робинсон Ферма Коши Эйлер
Литература	Анализ бесконечно малых Элементарные вычисления Курс анализа

Дуальные числа

История исследований

Определение

Алгебраическое определение

Матричное представление

Показательная форма

Арифметические операции

Корни

Дифференцирование

Примечания

Литература

Дополнительно по теме

Категории