Расстояние

Относительные размеры
объектов, lg м

-20 —

–

-18 —

–

-16 —

–

-14 —

–

-12 —

–

-10 —

–

-8 —

–

-6 —

–

-4 —

–

-2 —

–

0 —

–

2 —

–

4 —

–

6 —

–

8 —

–

10 —

–

12 —

–

14 —

–

16 —

–

18 —

–

20 —

–

22 —

–

24 —

–

26 —

–

28 —

–

30 —

←

Диаметр протона — 0,8·10^-15

←

Диаметр атомного ядра — 3·10^-15

←

Размер атома — 3·10^-10

←

Размер водяной капли в
тумане — 5·10^-6

←

Средний рост человека — 1,7

←

Диаметр Луны — 3,48·10⁶

←

Диаметр Земли — 1,3·10⁷

←

Радиус орбиты Луны — 3,84·10⁸

←

Диаметр Солнца — 1,39·10⁹

←

Средний радиус орбиты
Земли — 1,5·10¹¹

←

Расстояние до
звезды альфа Центавра — 4·10¹⁶

←

Диаметр Млечного Пути — 7·10²⁰

←

Расстояние до
туманности Андромеды — 10²²

←

Размер видимой Вселенной — 10²⁷

Расстоя́ние, в широком смысле, степень (мера) удалённости объектов друг от друга.

Расстояние является фундаментальным понятием геометрии. Термин часто используется в других науках и дисциплинах: астрономия, география, геодезия, навигация и других. В различных дисциплинах как термин имеет различное определение, представленное ниже.

Расстояние в математике

Расстояние в алгебре

Содержание термина «расстояние» в алгебре связано с понятием метрики и метрического пространства.

Метрическим пространством называется множество X, если дано такое отображение, называемое метрикой, X² в множество неотрицательных чисел, что для любых элементов a, b, c множества X выполняются следующие аксиомы, называемые аксиомами Фреше:

1) $\rho (a;b)\geq 0$, притом равенство выполняется тогда и только тогда, когда элементы a и b равны;

2) $\rho (a;b)=\rho (b;a)$;

3) $\rho (a;b)\leq \rho (a;c)+\rho (c;b)$.

Для третьей аксиомы частным случаем является неравенство треугольника.

Расстояние в множестве действительных чисел

Введение метрики

Для множества всех действительных чисел расстояние от числа a до числа b математики считают число $|a-b|$.

Легко убедиться, что множество действительных чисел с данной метрикой будет являться метрическим пространством.

Доказательство

Первое условие выполняется, так как модуль любого действительного числа из определения - число неотрицательное, притом модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда выражение под модулем равно нулю, откуда, если равенство выполняется, то числа равны.

Второе свойство верно, так как из свойств модуля числа: $|a-b|=|b-a|$.

Третье свойство выполняется, так как само свойство равносильно $|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$, но $(a-c)+(c-b)=a-b$, а модуль суммы всегда не превосходит суммы модулей.

Расстояние в множестве пар действительных чисел

Из основных метрик в множестве пар действительных чисел (а в графической интерпретации - множестве всех точек плоскости) выделяют две: метрику Декарта и метрику Евклида.

Метрика Декарта

Введение метрики

Для множества пар действительных чисел дана метрика Декарта:

$\rho ((a;b);(c;d))=|a-c|+|b-d|$.

Убедимся, что множество пар действительных чисел (R²) с введенной метрикой Декарта является метрическим пространством.

Доказательство

Первое свойство очевидно выполняется, так как сумма модулей, каждый из которых является неотрицательным числом - также число неотрицательное. Притом равенство выполняется тогда и только тогда, когда оба выражения под модулем равны нулю, но тогда и рассматриваемые элементы-пары множества также равны.

Второе свойство выполняется, так как $\rho ((a;b);(c;d))=|a-c|+|b-d|=|c-a|+|d-b|=\rho ((c;d);(a;b))$.

Докажем третье свойство:

Пусть даны три пары действительных чисел, (a; b), (c; d), (e; f). Тогда требуемое неравенство можно записать в следующем виде:

$|a-c|+|b-d|\leq |a-x|+|b-y|+|x-c|+|y-d|$. Данное неравенство верно, что следует из сложения двух следующих неравенств, доказанных ранее:

$|a-c|\leq |a-x|+|x-c|$ и $|b-d|\leq |b-y|+|y-d|$.

Метрика Евклида

Введение метрики

Для множества пар действительных чисел дана метрика Евклида:

$\rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}$.

Убедимся, что множество R² с введенной метрикой Евклида является метрическим пространством.

Доказательство

Первое свойство выполняется, так как арифметический корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен. Если же выполняется равенство нулю, то оба выражения возводимые в квадрат, равны нулю, откуда требуемое очевидно.

Второе свойство выполняется, так как $\rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}={\sqrt {(c-a)^{2}+(d-b)^{2}}}=\rho ((c;d);(a;b))$.

Докажем третье свойство:

Пусть даны три пары действительных чисел, (a; b), (c; d), (e; f). Тогда требуемое неравенство можно записать в следующем виде:

${\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}\leq {\sqrt {(a-e)^{2}+(b-f)^{2}}}+{\sqrt {(e-c)^{2}+(f-d)^{2}}}$. После возведения в квадрат и преобразования данного выражения приходим к следующему неравенству:

$(a-e)(e-c)+(b-f)(f-d)\leq {\sqrt {((a-e)^{2}+(b-f)^{2})((e-c)^{2}+(f-d)^{2})}}$, которое верно, что следует из неравенства Коши-Буняковского (при соответствующей замене разностей чисел).

Расстояние в геометрии

В геометрии расстояние между фигурами — минимально возможная длина отрезка между точкой, принадлежащей первой фигуре, и точкой, принадлежащей второй фигуре.

Расстояние в технике

Расстояние между объектами — длина отрезка прямой, соединяющей два объекта. Расстояние в этом смысле является физической величиной с размерностью длины, значение расстояния выражается в единицах длины.

Расстояние в физике

Расстояние
s
Единицы измерения
СИ	м
СГС	см

Основная статья: Длина

В физике расстояние меряется единицами длины, которые в большинстве систем измерений являются одной из основных единиц измерения. В международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр. Расстоянием также называют длину пути, пройденного объектом. В этом случае производной расстояния (радиус-вектора) по времени является скорость.

Другие использования

В проксемике понятие расстояния используют для описания личного пространства человека.

См. также

• Расстояние Левенштейна
• Промежуток (математика)
• Отрезок
• Интервал
• Путь

Примечания

Литература

• Зенитное расстояние // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.