Арифметическая прогрессия

• По определению каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом ${\displaystyle d}$: ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}$.
• Формула ${\displaystyle n}$-го члена арифметической прогрессии: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$
• Частичная сумма или сумма первых ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии равна ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$.
• Формула суммы первых ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии: ${\displaystyle S_{n}={\dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n={\dfrac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n}$.
• Формула для разности: ${\displaystyle {\mathit {d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}}}$.

1. Каждый член ${\displaystyle a_{k}}$, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов, а также среднее арифметическое членов, равноудалённых от него: ${\displaystyle a_{k}={\dfrac {a_{k-1}+a_{k+1}}{2}}={\dfrac {a_{k-m}+a_{k+m}}{2}}}$.
2. Для любой арифметической прогрессии верно равенство ${\displaystyle a_{m}+a_{k}=a_{p}+a_{s}}$, если ${\displaystyle m+k=p+s}$. Если же прогрессия содержит конечное число членов, то сумма членов, равноотстоящих от её концов, равна сумме крайних членов: ${\displaystyle a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}}$^[2].

Член арифметической прогрессии с номером ${\displaystyle n}$ может быть найден по формулам

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

${\displaystyle a_{n}=a_{m}-(m-n)d}$

где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle d}$ — её разность, ${\displaystyle a_{m}}$ — член арифметической прогрессии с номером ${\displaystyle m}$.

Отметим, что в формулах общего члена ${\displaystyle n}$-й член прогрессии есть линейная функция. Об этом говорит следующая теорема.

Доказательство тождества арифметической прогрессии

С помощью формулы общего члена выразим ${\displaystyle k}$-й, ${\displaystyle l}$-й, ${\displaystyle m}$-й члены:

${\displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d,\quad a_{l}=a_{1}+(l-1)d,\quad a_{m}=a_{1}+(m-1)d.}$ Вычитая почленно из первого равенства второе, а из второго третьего, получим:${\displaystyle a_{k}-a_{l}=(k-l)d,\quad a_{l}-a_{m}=(l-m)d.}$ Выражая из этих равенств ${\displaystyle d}$ и приравнивая полученные выражения, получим:${\displaystyle {\dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={\dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$ По основному свойству пропорции:${\displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m}).}$ Откуда следует доказываемое тождество:${\displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.}$■

Следствие 1. Всякий член арифметической прогрессии вырази́м через любую пару других членов.

Доказательство

Преобразовав тождество арифметической прогрессии ${\displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0}$ к виду ${\displaystyle a_{m}={\dfrac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}},}$ можно заметить, что ${\displaystyle m}$-й член есть линейная комбинация двух других членов (${\displaystyle a_{k}}$ и ${\displaystyle a_{l}}$), поскольку оно равносильно ${\displaystyle a_{m}={\dfrac {l-m}{l-k}}a_{k}+{\dfrac {m-k}{l-k}}a_{l}.}$■

Следствие 2. Для того, чтобы число ${\displaystyle a_{m}}$ являлось членом данной арифметической прогрессии с членами ${\displaystyle a_{k}}$ и ${\displaystyle a_{l}}$, необходимо и достаточно, чтобы было натуральным число

${\displaystyle m={\dfrac {(a_{l}-a_{m})k+(a_{m}-a_{k})l}{a_{l}-a_{k}}}.}$

Формулировка ещё одного признака арифметической прогрессии.

Следствие 3 [критерий]. Числовая последовательность является арифметической прогрессией в том и только в том случае, если выполняется тождество арифметической прогрессии для всех членов данной последовательности. Другими словами, чтобы каждый член был вырази́м через любую пару остальных членов последовательности.

${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}~-~\div \Longleftrightarrow \left(k-l\right)a_{m}+\left(m-k\right)a_{l}+\left(l-m\right)a_{k}=0\mid \forall k,\forall l,\forall m\in \mathbb {N} .}$

Доказательство

Необходимость. Утверждение ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}~-~\div \Rightarrow \left(k-l\right)a_{m}+\left(m-k\right)a_{l}+\left(l-m\right)a_{k}=0\mid \forall k,\forall l,\forall m\in \mathbb {N} }$ очевидно (см. доказательство тождества арифметической прогрессии).
Достаточность. Докажем, что ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}~-~\div \Leftarrow \left(k-l\right)a_{m}+\left(m-k\right)a_{l}+\left(l-m\right)a_{k}=0\mid \forall k,\forall l,\forall m\in \mathbb {N} .}$ Равенство ${\displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0}$ можно преобразовать к виду ${\displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m}).}$ Если все три номера различны, тогда ${\displaystyle {\dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={\dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$ Обозначим выражение, например, в левой части равенства за ${\displaystyle d}$, то есть ${\displaystyle d={\dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}.}$ Откуда можно прийти к следующему предложению:${\displaystyle a_{k}=a_{l}+{\left(k-l\right)}d.}$

Наконец, методом математической индукции, например, по ${\displaystyle l}$ нетрудно убедиться, что данное соотношение описывает именно арифметическую прогрессию.

Действительно, при ${\displaystyle l=1}$ (база индукции) получаем формулу общего члена арифметической прогрессии: ${\displaystyle a_{k}=a_{1}+{\left(k-1\right)}d.}$
Предположим истинность утверждения (для ${\displaystyle l}$): формула ${\displaystyle a_{k}=a_{l}+{\left(k-l\right)}d}$ характеризует арифметическую прогрессию. Тогда покажем, что и при ${\displaystyle l+1}$ формула верна для арифметической прогрессии (переход, или шаг, индукции). Рассмотрим левую часть формулы ${\displaystyle a_{k}=a_{l+1}+{\left(k-\left(l+1\right)\right)}d.}$ По предположению индукции (${\displaystyle a_{k}=a_{l}+{\left(k-l\right)}d}$) заменим ${\displaystyle a_{k}}$ на выражение ${\displaystyle a_{l}+{\left(k-l\right)}d}$. Итак, получим следующее: ${\displaystyle a_{l}+{\left(k-l\right)}d=a_{l+1}+{\left(k-\left(l+1\right)\right)}d.}$ Методом тождественных преобразований имеем равносильное предложение ${\displaystyle a_{l+1}=a_{l}+d.}$ А это, в свою очередь, рекуррентное соотношение для арифметической прогрессии.

Значит, по принципу математической индукции можно утвердать, что для всякого ${\displaystyle l}$ соотношение ${\displaystyle a_{k}=a_{l}+{\left(k-l\right)}d}$ верно только и только для членов арифметической прогрессии.
Аналогичные рассуждения проводятся для формулы ${\displaystyle d={\dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}}$.
Данное следствие целиком и полностью считается доказанным.■

Сумма первых ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$ может быть найдена по формулам

${\displaystyle S_{n}={\dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}$ , где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n}$ — количество суммируемых членов.

${\displaystyle S_{n}={\dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\dfrac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)}$ — где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle a_{2}}$ — второй член прогрессии ${\displaystyle ,a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle S_{n}={\dfrac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}\cdot n}$ , где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle d}$ — разность прогрессии, ${\displaystyle n}$ — количество суммируемых членов.

${\displaystyle S_{n}=a_{\frac {n+1}{2}}\cdot n}$, если ${\displaystyle n}$ — нечётное натуральное число.

Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом ${\displaystyle n}$ выполняется равенство:

${\displaystyle S_{2n}=S_{n}+{\dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

Примечание: ${\displaystyle S_{k}}$ — сумма ${\displaystyle k}$ первых членов арифметической прогрессии.

Предыдущее свойство имеет обобщение.

Для любых натуральных ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$ выполняется комплементарное свойство сумм:

${\displaystyle {\dfrac {l-m}{k}}\cdot S_{k}+{\dfrac {m-k}{l}}\cdot S_{l}+{\dfrac {k-l}{m}}\cdot S_{m}=0.}$

Ещё один признак арифметической прогрессии^[4].

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от ${\displaystyle n}$ до ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S_{m,n}=\sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+\ldots +a_{m}}$ может быть найдена по формулам

${\displaystyle S_{m,n}={\dfrac {a_{m}+a_{n}}{2}}\cdot (m-n+1)}$ , где ${\displaystyle a_{m}}$ — член с номером ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle (m-n+1)}$ — количество суммируемых членов.

${\displaystyle S_{m,n}={\dfrac {2a_{n}+d\left(m-n\right)}{2}}\cdot \left(m-n+1\right),}$

где ${\displaystyle a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle d}$ — разность прогрессии, ${\displaystyle (m-n+1)}$ — количество суммируемых членов^[5].

Произведение первых ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ является выражение вида: ${\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot \ldots \cdot a_{n-2}\cdot a_{n-1}\cdot a_{n}.}$ Обозначается как ${\displaystyle P_{n}}$.

• ${\displaystyle P_{n}={\dfrac {1}{2^{n}}}\prod \limits _{i=1}^{n}{\left(a_{1}+a_{n}+d\left(2i-\left[n+1\right]\right)\right)}}$.
• Если ${\displaystyle n}$ — нечётное натуральное число и ${\displaystyle n>1}$, то произведение от ${\displaystyle a_{1}}$ до ${\displaystyle a_{n}}$ равно произведению их среднего арифметического и членов, равноотстоящих от него:${\displaystyle P_{n}=a_{\frac {n+1}{2}}\cdot \prod \limits _{i=1}^{\frac {n-1}{2}}{\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[id\right]}^{2}\right)}=a_{\frac {n+1}{2}}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{d}^{2}\right)}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[2d\right]}^{2}\right)}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[3d\right]}^{2}\right)}\cdot \ldots \cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[{\frac {n-3}{2}}\cdot d\right]}^{2}\right)}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[{\frac {n-1}{2}}\cdot d\right]}^{2}\right)}.}$

Число множителей-скобок ${\displaystyle {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[id\right]}^{2}\right)}}$ равно ${\displaystyle {\dfrac {n-1}{2}}}$, а в самом произведении ${\displaystyle a_{\frac {n+1}{2}}\cdot \prod \limits _{i=1}^{\frac {n-1}{2}}{\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[id\right]}^{2}\right)}}$ их составляет ${\displaystyle {\dfrac {n+1}{2}}}$ «штук».

Арифметическая прогрессия ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ расходится при ${\displaystyle d\neq 0}$ и сходится при ${\displaystyle d=0}$. Причём

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,\ d>0\\-\infty ,\ d<0\\a_{1},\ d=0\end{matrix}}\right.}$

Пусть ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ — арифметическая прогрессия с разностью ${\displaystyle d}$ и число ${\displaystyle a>0}$. Тогда последовательность вида ${\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots }$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем ${\displaystyle a^{d}}$.

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Конечная последовательность называется арифметической прогрессией первого порядка, если последовательность её первых разностей постоянна.

Последовательность чисел называется арифметической прогрессией второго порядка, если последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел ${\displaystyle 1,4,9,16,25,...}$ , разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью ${\displaystyle d=2}$: ${\displaystyle 3,5,7,9,\ldots }$. Треугольные числа ${\displaystyle 1,3,6,10,15,\ldots }$ также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию ${\displaystyle 2,3,4,5,\ldots }$.

Последовательность называется арифметической прогрессией ${\displaystyle m}$-го порядка, если последовательность ${\displaystyle m}$-х разностей постоянна, а ${\displaystyle (m-1)}$-х не постоянна.

Если ${\displaystyle \left[a_{i}\right]_{1}^{n}}$ — арифметическая прогрессия 1-го порядка и ${\displaystyle d}$ — её разность, то ${\displaystyle a_{i}=a_{1}+(i-1)d}$, а сумма членов равна ${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}={\dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n={\dfrac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n}$.

Если ${\displaystyle \left[a_{i}\right]_{1}^{n}}$ — арифметическая прогрессия порядка ${\displaystyle m}$, то существует многочлен ${\displaystyle P_{m}(i)=c_{m}i^{m}+...+c_{1}i+c_{0}}$, такой, что для всех ${\displaystyle i\in \left\{1,....n\right\}}$ выполняется равенство ${\displaystyle a_{i}=P_{m}(i)}$. При ${\displaystyle m=1}$ для последовательности ${\displaystyle \left[a_{i}\right]_{1}^{n}}$ с постоянной разностью ${\displaystyle d}$ этот многочлен имеет вид ${\displaystyle a_{i}=di+(a_{1}-d)}$^[6].

• Простейшим примером арифметической прогрессии является ряд натуральных чисел ${\displaystyle 1,2,3,4,5,\ldots }$ где член ${\displaystyle a_{1}=1}$, а разность ${\displaystyle d=1}$^[7]. Сумма ${\displaystyle n}$ первых членов натурального ряда называется «треугольным числом»: ${\displaystyle T_{n}=\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$.

• ${\displaystyle 1,-1,-3,-5,-7}$ — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой ${\displaystyle a_{1}=1}$ и ${\displaystyle d=-2}$.
• Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу ${\displaystyle a}$, то это есть арифметическая прогрессия, в которой ${\displaystyle a_{1}=a}$ и ${\displaystyle d=0}$. В частности, ${\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\ldots }$ есть арифметическая прогрессия с разностью ${\displaystyle d=0}$.

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: ${\displaystyle 1+100=101,2+99=101}$ и т. д., и мгновенно получил результат: ${\displaystyle 5050}$. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле: ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$, то есть к формуле суммы первых ${\displaystyle n}$ чисел натурального ряда.