Кубический корень

Кубический корень — нечётная функция:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-x}}=-{\sqrt[{3}]{x}}\qquad (x\in \mathbb {R} ).}$

В частности, из отрицательного числа извлекается отрицательный вещественный корень — в этом главное отличие от квадратного корня, который на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ определён лишь для неотрицательных чисел.

Другие тождества, верные для вещественного корня:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{xy}}={\sqrt[{3}]{x}}\,{\sqrt[{3}]{y}},\qquad {\sqrt[{3}]{\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{y}}}\quad (y\neq 0),}$

${\displaystyle {\bigl (}{\sqrt[{3}]{x}}{\bigr )}^{3}=x,\qquad {\sqrt[{3}]{x^{3}}}=x,\qquad {\sqrt[{3}]{x^{3k+r}}}=x^{k}{\sqrt[{3}]{x^{r}}}}$

(${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle r\in \{0,1,2\}}$, и в последнем равенстве ${\displaystyle x\neq 0}$ при отрицательном ${\displaystyle k}$). Для главной комплексной ветви первое и четвёртое равенства, вообще говоря, неверны.

Функция непрерывна и строго возрастает на всей прямой, вогнута на ${\displaystyle (-\infty ,0]}$ и выпукла на ${\displaystyle [0,+\infty )}$. Она однородна степени ${\displaystyle 1/3}$: ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\lambda ^{3}x}}=\lambda {\sqrt[{3}]{x}}}$ при вещественном ${\displaystyle \lambda }$.

При ${\displaystyle x\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt[{3}]{x}}={\frac {1}{3}}\,x^{-2/3}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}.}$

В нуле конечной производной нет: ${\displaystyle {\bigl (}{\sqrt[{3}]{h}}-{\sqrt[{3}]{0}}{\bigr )}/h=h^{-2/3}\to +\infty }$ при ${\displaystyle h\to 0}$ — график имеет вертикальную касательную. Функция является гёльдеровой с показателем ${\displaystyle 1/3}$ и не является липшицевой в окрестности нуля.

Первообразная:

${\displaystyle \int {\sqrt[{3}]{x}}\,dx={\frac {3}{4}}x^{4/3}+C={\frac {3}{4}}x{\sqrt[{3}]{x}}+C.}$

Биномиальный ряд при ${\displaystyle |t|<1}$:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1+t}}=1+{\frac {t}{3}}-{\frac {t^{2}}{9}}+{\frac {5t^{3}}{81}}-{\frac {10t^{4}}{243}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {1/3}{n}}t^{n}.}$

Арифметический корень степени 3 из неотрицательного числа — это его неотрицательный (и в данном случае единственный неотрицательный) кубический корень. Для отрицательного подкоренного выражения термин «арифметический корень» традиционно не употребляют, говоря просто о вещественном кубическом корне.

Кубы целых чисел от ${\displaystyle -10}$ до ${\displaystyle 10}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle -10}$	${\displaystyle -5}$	${\displaystyle -4}$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -1}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle n^{3}}$	−1000	−125	−64	−27	−8	−1	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

Число ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\approx 1{,}25992104989\ldots }$ (постоянная Делоса, OEIS A002580) иррационально: многочлен ${\displaystyle t^{3}-2}$ неприводим над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (по критерию Эйзенштейна при ${\displaystyle p=2}$). Более того, степень расширения ${\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} ]=3}$, поэтому ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ не является конструктивным числом^[11].

Пусть ${\displaystyle c\neq 0}$ — комплексное число, ${\displaystyle c=|c|{\bigl (}\cos \varphi +i\sin \varphi {\bigr )}}$, где ${\displaystyle \varphi =\operatorname {Arg} c}$ — главное значение аргумента. Тогда уравнение ${\displaystyle z^{3}=c}$ имеет ровно три различных решения^[12][13]:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{|c|}}{\Biggl (}\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{3}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{3}}{\Biggr )},\qquad k=0,1,2.}$

Здесь ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{|c|}}}$ — арифметический (положительный) корень из модуля. Индекс ${\displaystyle k}$ пробегает только три значения: при ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle k+3}$ аргументы отличаются на ${\displaystyle 2\pi }$, и значения совпадают.

Геометрически три значения лежат на окружности радиуса ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{|c|}}}$ и являются вершинами правильного треугольника.

Три кубических корня из 1 — это решения ${\displaystyle z^{3}-1=(z-1)(z^{2}+z+1)=0}$:

${\displaystyle 1,\qquad \omega =e^{2\pi i/3}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}},\qquad \omega ^{2}=e^{-2\pi i/3}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}.}$

Они удовлетворяют соотношениям:

${\displaystyle \omega ^{3}=1,\qquad 1+\omega +\omega ^{2}=0,\qquad {\overline {\omega }}=\omega ^{2}.}$

Число ${\displaystyle \omega }$ называют примитивным кубическим корнем из единицы. Если ${\displaystyle r}$ — любой кубический корень из ${\displaystyle c}$, остальные два равны ${\displaystyle r\omega }$ и ${\displaystyle r\omega ^{2}}$.

Для ${\displaystyle c=-1}$ (главный аргумент ${\displaystyle \varphi =\pi }$):

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-1}}={\begin{cases}\cos {\dfrac {\pi }{3}}+i\sin {\dfrac {\pi }{3}}={\dfrac {1}{2}}+i{\dfrac {\sqrt {3}}{2}},&k=0,\\[4pt]\cos \pi +i\sin \pi =-1,&k=1,\\[4pt]\cos {\dfrac {5\pi }{3}}+i\sin {\dfrac {5\pi }{3}}={\dfrac {1}{2}}-i{\dfrac {\sqrt {3}}{2}},&k=2.\end{cases}}}$

Вещественный корень равен ${\displaystyle -1}$; главное комплексное значение — ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$.

Главное значение комплексного кубического корня определяют через главную ветвь логарифма ${\displaystyle \operatorname {Log} z=\ln |z|+i\operatorname {Arg} z}$, где ${\displaystyle \operatorname {Arg} z\in (-\pi ,\pi ]}$^[14]:

${\displaystyle z^{1/3}=\exp {\Bigl (}{\frac {1}{3}}\operatorname {Log} z{\Bigr )}.}$

Если ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ с ${\displaystyle r>0}$ и ${\displaystyle \theta \in (-\pi ,\pi ]}$, то

${\displaystyle \operatorname {pv} {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{r}}\,\exp {\Bigl (}{\frac {i\theta }{3}}{\Bigr )}.}$

Геометрически: модуль извлекается арифметически, а главный аргумент делится на три. Образ плоскости с разрезом — замкнутый сектор ${\displaystyle |\arg w|\leq \pi /3}$.

Следствие, часто вызывающее путаницу. Для отрицательного вещественного числа главный аргумент равен ${\displaystyle \pi }$, поэтому

${\displaystyle \operatorname {pv} {\sqrt[{3}]{-8}}=2\exp {\Bigl (}{\frac {i\pi }{3}}{\Bigr )}=1+i{\sqrt {3}},}$

а не ${\displaystyle -2}$. Вещественный кубический корень из ${\displaystyle -8}$ по-прежнему равен ${\displaystyle -2}$.

На главной ветви мультипликативность ломается:

${\displaystyle \operatorname {pv} {\sqrt[{3}]{-1}}\cdot \operatorname {pv} {\sqrt[{3}]{-1}}={\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}{\Bigr )}^{2}=-{\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\neq \operatorname {pv} {\sqrt[{3}]{1}}=1.}$

Равенство ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z^{3}}}=z}$ для главного значения тоже неверно: при ${\displaystyle z=-2}$ слева получается ${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$.

Обход начала координат по замкнутому контуру умножает выбранную ветвь на ${\displaystyle \omega }$ (монодромия); риманова поверхность кубического корня — трёхлистное накрытие ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$^[15].

Для уравнения ${\displaystyle f(x)=x^{3}-a=0}$ метод Ньютона даёт итерацию^[20]:

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{3}}{\Biggl (}{\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}{\Biggr )}={\frac {2x_{n}+a/x_{n}^{2}}{3}}.}$

Сходимость квадратичная при ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$ и удачном выборе знака (для вещественного корня ${\displaystyle x_{0}}$ берут того же знака, что и ${\displaystyle a}$). Метод Галлея сходится кубически:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\cdot {\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}.}$

В машинной арифметике начальное приближение часто получают делением двоичного порядка (экспоненты) числа на 3.

Алгоритм основан на позиционной записи тождества ${\displaystyle (10a+x)^{3}=(10a)^{3}+300a^{2}x+30ax^{2}+x^{3}}$. Он известен в «Математике в девяти книгах» (глава «Шаогуан») и в «Арьябхатии» (ганитпада, шлока 5)^[21][22].

1. Разбить число на тройки цифр: целую часть — справа налево, дробную — слева направо. Каждая тройка даёт одну цифру корня.
2. Для самой левой группы подобрать наибольшую цифру ${\displaystyle d}$ с ${\displaystyle d^{3}}$, не превосходящим группы. Записать ${\displaystyle d}$ в ответ, вычесть ${\displaystyle d^{3}}$, снести следующую тройку.
3. Пусть уже найденные цифры образуют число ${\displaystyle a}$ (как целое). Следующая цифра ${\displaystyle x\in \{0,\dots ,9\}}$ — наибольшая, для которой выражение

   ${\displaystyle 300a^{2}x+30ax^{2}+x^{3}}$

4. не превосходит текущего остатка. Вычесть это значение, снести следующую тройку, заменить ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle 10a+x}$ и повторять.

Пример 9. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{157\,464}}}$. Группы: ${\displaystyle 157\mid 464}$.

• ${\displaystyle 5^{3}=125\leq 157<216}$, остаток ${\displaystyle 32}$, снос даёт ${\displaystyle 32\,464}$.
• ${\displaystyle a=5}$, ${\displaystyle x=4}$: ${\displaystyle 300\cdot 25\cdot 4+30\cdot 5\cdot 16+64=30\,000+2\,400+64=32\,464}$. Остаток 0.

Итого ${\displaystyle 54}$. Проверка: ${\displaystyle 54^{3}=157\,464}$.

В современных языках программирования функция cbrt(x) реализована в соответствии со стандартом IEEE 754. Она предпочтительнее возведения в степень x**(1/3) по двум причинам: 1. Гарантированно возвращает вещественный результат для отрицательных ${\displaystyle x}$ (избегая перехода в комплексную ветвь). 2. Обеспечивает высокую точность и численную стабильность в окрестности нуля и для очень больших чисел, используя аппаратные инструкции процессора или оптимизированные полиномиальные аппроксимации.

• Ребро куба объёма ${\displaystyle V}$ равно ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{V}}}$; радиус шара объёма ${\displaystyle V}$ равен ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3V/(4\pi )}}}$.
• У подобных тел линейные размеры относятся как кубические корни объёмов. При постоянной плотности то же верно для масс: ${\displaystyle \ell _{1}/\ell _{2}={\sqrt[{3}]{m_{1}/m_{2}}}}$. Это количественная сторона закона квадрата–куба (Галилей, «Беседы…», 1638): вес растёт как куб длины, прочность сечений — как квадрат, поэтому крупные подобные конструкции относительно «слабее»^[23].
• Третий закон Кеплера ${\displaystyle T^{2}\propto a^{3}}$ даёт большую полуось орбиты: ${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{GM\,T^{2}/(4\pi ^{2})}}}$.

• Явное решение кубических и (через резольвенту Феррари) уравнений четвёртой степени; теория Галуа для чистых кубических расширений (например, ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$).
• В криптографии: в алгоритме RSA при малой открытой экспоненте ${\displaystyle e=3}$ и коротком сообщении ${\displaystyle m}$ (так что ${\displaystyle m^{3}<n}$), шифротекст ${\displaystyle c=m^{3}{\bmod {n}}}$ равен просто ${\displaystyle m^{3}}$ в целых числах. Злоумышленник может восстановить ${\displaystyle m}$, просто извлекая обычный кубический корень из ${\displaystyle c}$ (так называемая атака Хастада).
• Статистика: кубический корень — одно из стабилизирующих дисперсию преобразований для данных, близких к распределению Пуассона (наряду с преобразованием Энскомба).

• Постоянная кубической решётки по плотности: ${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{nM/(N_{A}\rho )}}}$, где ${\displaystyle n}$ — число формульных единиц в ячейке, ${\displaystyle M}$ — молярная масса, ${\displaystyle N_{A}}$ — постоянная Авогадро, ${\displaystyle \rho }$ — плотность.
• Кубические уравнения состояния (ван дер Ваальс, Редлиха — Квонга, Пенга — Робинсона) решаются относительно молярного объёма по формуле Кардано и потому требуют извлечения кубических корней.
• Цветовое пространство CIELAB (CIE 1976): светлота

1. ${\displaystyle L^{*}=116\,f(Y/Y_{n})-16,}$

2. где ${\displaystyle f(t)=t^{1/3}}$ при ${\displaystyle t}$ больше порога ${\displaystyle (6/29)^{3}}$ (ниже порога — линейный участок). Кубический корень моделирует приближённо логарифмическое восприятие яркости человеческим глазом^[24].