Обратное число

Обратное число
Обратное число
Область использования	Арифметика, Алгебра, Математический анализ, Теория чисел, Линейная алгебра
Дата появления	около 1800 года до н. э. (вавилонские таблицы обратных величин); современная символика — 1676 год
Место появления	Древний Вавилон (таблицы ); современное обозначение введено в Европе
Автор понятия	понятие развивалось постепенно: вавилонские математики (~1800 до н. э.), Никола Шюке (отрицательные показатели, 1484), Исаак Ньютон (обозначение , 1676)
Ключевые слова	взаимно обратные числа, обратный элемент, деление, гипербола, поле, обратимый элемент, обратная пропорциональность
Базовые понятия	Число, Умножение, деление, единица, поле, Нейтральный элемент

Обратное число
Обратное число
Область использования	Арифметика, Алгебра, Математический анализ, Теория чисел, Линейная алгебра
Дата появления	около 1800 года до н. э. (вавилонские таблицы обратных величин); современная символика — 1676 год
Место появления	Древний Вавилон (таблицы ); современное обозначение введено в Европе
Автор понятия	понятие развивалось постепенно: вавилонские математики (~1800 до н. э.), Никола Шюке (отрицательные показатели, 1484), Исаак Ньютон (обозначение , 1676)
Ключевые слова	взаимно обратные числа, обратный элемент, деление, гипербола, поле, обратимый элемент, обратная пропорциональность
Базовые понятия	Число, Умножение, деление, единица, поле, Нейтральный элемент

Обра́тное число́ (обратное значе́ние, обратная величина́) к данному числу $x$ — это число, умножение которого на $x$ даёт единицу. Принятая запись: ${\frac {1}{x}}$ или $x^{-1}$ . Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными^[1].

Иначе говоря, число $y$ обратно числу $x$ , если

x\cdot y=1.

Из этого равенства сразу видно, что отношение взаимной обратности симметрично: если $y$ обратно $x$ , то и $x$ обратно $y$ .

Примеры.

Единственные вещественные числа, совпадающие со своими обратными:

+1

и

-1

.

Обратное для числа 2 равно

{\frac {1}{2}}

.

Обратное для числа

{\frac {11}{35}}

равно

{\frac {35}{11}}

.

Обратное для числа

\pi =3{,}1415926535\dots

равно

0{,}3183098861\dots

Обратное число не следует путать с противоположным (которое в сумме с исходным даёт нуль) или с обратной функцией.

Понятие обратного элемента можно определить не только для чисел, но и для других математических объектов.

Обратные величины использовались задолго до появления общего понятия числа: они возникли из потребности выполнять деление.

В вавилонской математике (около 1800 года до н. э.), пользовавшейся шестидесятеричной системой счисления, деление как самостоятельная операция отсутствовало — вместо термина «делить» говорили «умножить на обратное». Вычисление $m:n$ выполнялось по правилу: «возьми обратное к $n$ , умножь $m$ на него». Поэтому важнейшую роль в вавилонских вычислениях играли обширные таблицы обратных величин (igi), содержавшие обратные к числам, разложимым на множители 2, 3 и 5; для остальных чисел (например, 7 или 11) обратные величины в шестидесятеричной записи бесконечны, и применялись приближения^[2].

В Древнем Египте сложилась иная традиция: там употреблялись почти исключительно аликвотные дроби, то есть числа вида $1/n$ — обратные к натуральным. Дробь с числителем, отличным от единицы, записывалась суммой различных аликвотных дробей. Папирус Ахмеса (около 1650 года до н. э.) открывается таблицей таких разложений для всех дробей вида $2/n$ при нечётных $n$ от 5 до 101; например, $2/5=1/3+1/15$ ^[3].

В древнегреческой математике отношение величин не считалось числом, и обратная величина выступала как «обращённое отношение»: если $a$ относится к $b$ , то $b$ относится к $a$ . Учение о пропорциях, изложенное в V книге «Начал» Евклида, оперировало такими обращениями, не пользуясь понятием дроби^[4].

Современная символика складывалась постепенно. Дробную черту в привычном виде ввели в европейскую математику арабские математики, а через сочинение Леонардо Пизанского «Книга абака» (1202) она распространилась в Европе. Запись обратной величины в виде степени с показателем $-1$ появилась значительно позже: отрицательные показатели предложил Никола Шюке (1484), а современное обозначение $x^{-1}$ ввёл Исаак Ньютон в письме к Генри Ольденбургу в 1676 году^[5].

Термин «обратное число» закрепился в русской математической литературе в XIX веке; в старых руководствах встречалось также выражение «обращённое число».

Аксиоматическое определение

Множества действительных и комплексных чисел образуют поле — алгебраическую структуру, в системе аксиом которой существование обратного элемента постулируется явно. Одна из аксиом умножения гласит^[6]:

для каждого элемента $a\neq 0$ существует элемент $a^{-1}$ , такой что $a\cdot a^{-1}=1$ .

Таким образом, обратное число — не результат отдельного построения, а элемент, чьё существование заложено в определении числового поля. Оговорка $a\neq 0$ входит в саму аксиому: нуль исключается из неё не по соглашению, а потому, что при его включении система аксиом стала бы противоречивой.

Из аксиом поля следует, что обратный элемент единственнен^[7].

Запись

Обратное число записывают в виде дроби или степени с показателем $-1$ ; как правило, используется запись через дробь:

{\frac {1}{n}}=n^{-1}.

Доказательство единственности

Пусть $y_{1}$ и $y_{2}$ — два числа, обратных к $x\neq 0$ , то есть $xy_{1}=1$ и $xy_{2}=1$ . Тогда

y_{1}=y_{1}\cdot 1=y_{1}(xy_{2})=(y_{1}x)y_{2}=1\cdot y_{2}=y_{2},

где использованы ассоциативность умножения и свойство единицы. Значит, обратное число единственно.

Число	3	${\frac {1}{10}}$	$-{\frac {2}{7}}$	$2\pi$	2	$-0{,}125$	1	${\sqrt {3}}$	$e^{\pi /4}$	$10^{23}$
Обратное	${\frac {1}{3}}$	10	$-{\frac {7}{2}}$	${\frac {1}{2\pi }}$	$0{,}5$	$-8$	1	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$e^{-\pi /4}$	$10^{-23}$

Свойства

Для любых отличных от нуля $a$ и $b$ справедливо^[8]:

$\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$ — обратное к обратному даёт исходное число;
$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ — обратное к произведению равно произведению обратных;
$\left({\dfrac {a}{b}}\right)^{-1}={\dfrac {b}{a}}$ — при обращении дроби числитель и знаменатель меняются местами;
$a^{-1}$ имеет тот же знак, что и $a$ ;
если $0<a<1$ , то $a^{-1}>1$ , и наоборот: обращение меняет местами промежутки $(0;1)$ и $(1;+\infty )$ ;
деление на число равносильно умножению на обратное к нему: $b:a=b\cdot a^{-1}$ .

Последнее свойство объясняет роль обратных чисел в арифметике: имея таблицу обратных величин, деление можно свести к умножению — именно так и поступали в древности.

Геометрический смысл

Пары взаимно обратных положительных чисел — это в точности пары сторон прямоугольников единичной площади. График функции $y=1/x$ представляет собой гиперболу; точки $(a;\,1/a)$ и $(1/a;\,a)$ симметричны относительно прямой $y=x$ , а неподвижными точками отображения $x\mapsto 1/x$ служат $1$ и $-1$ .

Обратное для нуля

Нуль не имеет обратного числа, и это не соглашение, а следствие аксиом поля. Из дистрибутивности вытекает, что $0\cdot y=(0+0)\cdot y=0\cdot y+0\cdot y$ , откуда $0\cdot y=0$ для любого $y$ . Поэтому равенство $0\cdot y=1$ невозможно: оно означало бы $0=1$ , что противоречит аксиоме $0\neq 1$ . Соответственно, деление на нуль не определено.

Попытка «доопределить» $1/0$ разрушает структуру поля: если бы символ $\infty$ был числом с $0\cdot \infty =1$ , то из $0\cdot \infty =0$ (доказано выше) следовало бы $0=1$ ^[9].

Предельный переход

Отдельный вопрос — поведение функции $y=1/x$ вблизи нуля. Здесь важно различать число (элемент множества $\mathbb {R}$ ) и бесконечно большую функцию — функцию, которая при $x\to a$ превосходит по модулю любое наперёд заданное число. Символы $+\infty$ и $-\infty$ обозначают не числа, а характер поведения функции.

Односторонние пределы функции $1/x$ различны:

\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=+\infty ,\qquad \lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=-\infty ,

поэтому двустороннего предела не существует. Запись $\lim 1/x=+\infty$ означает лишь, что функция неограниченно возрастает, но не указывает никакого числового значения — и тем более не задаёт «обратного к нулю».

Распространено представление, будто бесконечно малая и бесконечно большая величины взаимно обратны. Это неверно. Если $\alpha (x)$ — бесконечно малая, а $\beta (x)$ — бесконечно большая при $x\to a$ , то предел их произведения может быть каким угодно, то есть $0\cdot \infty$ есть неопределённость:

$\alpha (x)$	$\beta (x)$	$\lim _{x\to +0}\alpha \beta$
$x$	$1/x$	$1$
$x$	$3/x$	$3$
$x^{2}$	$1/x$	$0$
$x$	$1/x^{2}$	$+\infty$

Верным является лишь более слабое утверждение: если $\alpha (x)$ — бесконечно малая и не обращается в нуль, то $1/\alpha (x)$ — бесконечно большая, и наоборот. Это связь между функциями, а не равенство произведения единице^[10].

Расширения числовой прямой

Символ $\infty$ можно присоединить к числовой прямой формально. В расширенной числовой прямой ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ добавляют два символа, в проективной прямой — одну бесконечно удалённую точку, и во втором случае условно полагают $1/0=\infty$ , $1/\infty =0$ .

Однако получающаяся структура полем не является: выражения $0\cdot \infty$ , $\infty -\infty$ и $\infty /\infty$ остаются неопределёнными, так что $\infty$ не становится числом и не является обратным к нулю в том смысле, в каком $1/2$ обратно к $2$ . Такие расширения используются как удобное соглашение в теории меры и комплексном анализе (сфера Римана), где важна не полевая структура, а компактность.

Наглядный пример несопоставимости бесконечностей: обе функции $1/x$ и $1/x^{2}$ бесконечно большие при $x\to +0$ , но

\lim _{x\to +0}{\frac {1/x}{1/x^{2}}}=\lim _{x\to +0}x=0,

а не $1$ , как было бы для отношения равных величин.

Для комплексного числа $z\neq 0$ обратное записывают в той же форме, что и само число.

Форма	Число $z$	Обратное $1/z$
алгебраическая	$x+iy$	${\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i\,{\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
тригонометрическая	$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$	${\dfrac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )$
показательная	$re^{i\varphi }$	${\dfrac {1}{r}}e^{-i\varphi }$

Здесь $x=\operatorname {Re} z$ , $y=\operatorname {Im} z$ , $r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ — модуль, $\varphi =\arg z$ — аргумент числа, $i$ — мнимая единица.

Геометрически обращение комплексного числа означает, что его модуль заменяется на обратный, а аргумент меняет знак:

\left|{\frac {1}{z}}\right|={\frac {1}{|z|}},\qquad \arg {\frac {1}{z}}=-\arg z.

Это преобразование есть композиция инверсии относительно единичной окружности и симметрии относительно вещественной оси. В частности, точки единичной окружности переходят в себя же (с отражением), внутренность круга — во внешность, и наоборот. Через сопряжённое число обратное выражается компактной формулой

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.

Вывод формул

Для алгебраической и тригонометрической форм используем основное свойство дроби, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое число.

Алгебраическая форма:

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.

Тригонометрическая форма:

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi ).

Показательная форма:

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{i\varphi }}}={\frac {1}{r}}e^{-i\varphi }.

Как видно, в показательной форме обращение выполняется проще всего.

Пример. Для $z=1+i{\sqrt {3}}=2e^{i\pi /3}$ обратное равно

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{2}}e^{-i\pi /3}={\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}\,i.

Обратное к мнимой единице

Для мнимой единицы обратное число совпадает с противоположным:

{\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i,\qquad

аналогично

\qquad {\frac {1}{-i}}=i.

Числа $\pm i$ — единственные, для которых обратное и противоположное совпадают: условие $1/z=-z$ равносильно $z^{2}=-1$ , а это уравнение имеет ровно два корня^[11].

Понятие обратного элемента определяется для любой бинарной операции на множестве $M$ , если для этой операции существует нейтральный элемент $e$ : элемент $b$ называется обратным к $a$ , если $ab=ba=e$ . Если операция не ассоциативна, приходится различать левый и правый обратные элементы^[12].

Элементы кольца с единицей, имеющие обратный, называются обратимыми элементами (или единицами кольца; встречается также название делители единицы). Множество всех обратимых элементов кольца с единицей образует группу по умножению — группу обратимых элементов; она непуста, так как содержит единицу кольца.

Примеры:

Кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$ : обратимы только $1$ и $-1$ , поскольку $1/n$ при $|n|>1$ не является целым.
Кольцо квадратных матриц порядка $n$ : матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Здесь, в отличие от числовых полей, ненулевой элемент может не иметь обратного: например, матрица ${\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}$ имеет нулевой определитель и необратима.
Кольцо вычетов $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ : класс $a$ обратим тогда и только тогда, когда $a$ и $n$ взаимно просты. Число обратимых классов равно $\varphi (n)$ (функция Эйлера); при простом $n$ обратимы все ненулевые классы, и кольцо становится полем. Обратный элемент находят расширенным алгоритмом Евклида: например, $3^{-1}=7$ в $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$ , так как $3\cdot 7=21\equiv 1{\pmod {10}}$ .
Кватернионы: для $q\neq 0$ обратный элемент равен $q^{-1}={\bar {q}}/|q|^{2}$ , как и для комплексных чисел, но умножение здесь некоммутативно.

Кольцо, в котором обратим каждый ненулевой элемент, называется телом, а в коммутативном случае — полем^[13].

Обратные величины появляются всюду, где складываются не сами величины, а «скорости» или «доли».

Среднее гармоническое. Величина $\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}\right)^{-1}$ — среднее обратных величин. Так вычисляется средняя скорость на маршруте с равными участками: при движении туда со скоростью 60 км/ч и обратно со скоростью 40 км/ч средняя скорость равна не 50, а $2/(1/60+1/40)=48$ км/ч.
Электрическое сопротивление. При параллельном соединении складываются обратные величины: $1/R=1/R_{1}+\ldots +1/R_{n}$ . Для сопротивлений 2, 3 и 6 Ом получаем $1/R=1/2+1/3+1/6=1$ , то есть $R=1$ Ом.
Оптика. Формула тонкой линзы $1/f=1/d+1/d'$ связывает фокусное расстояние с расстояниями до предмета и изображения; оптическая сила линзы есть величина, обратная фокусному расстоянию, и измеряется в диоптриях.
Совместная работа. Если один рабочий выполняет задание за $a$ часов, другой — за $b$ , то вместе они затратят $(1/a+1/b)^{-1}$ часов.
Обратно пропорциональные величины связаны соотношением $y=k/x$ ; их графиком служит гипербола.
Цепные дроби. Разложение числа в цепную дробь на каждом шаге использует обратную величину дробной части: $x=a_{0}+1/(a_{1}+1/(a_{2}+\dots ))$ .
Вычислительная техника. Деление — самая медленная из арифметических операций, поэтому процессоры и численные алгоритмы часто вычисляют обратную величину методом Ньютона (итерация $y_{k+1}=y_{k}(2-xy_{k})$ использует только умножение и вычитание), а затем умножают на неё.

↑ Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. и др. Математика : 6-й класс : базовый уровень : учебник : в 2 частях. Ч. 1. — 4-е изд., стер.. — М.: Просвещение, 2024. — С. 9, 99. — ISBN 978-5-09-110647-3.
↑ Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика. III—I тысячелетия до н. э.. — М.: Издательство восточной литературы, 1961. — С. 35—58.
↑ Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, 1959, с. 35.
↑ Юшкевич, История математики, Том 1, 1970, с. 70—72.
↑ Ньютон, И. Математические работы / пер. и комментарии Д. Мордухай-Болтовского. — М.-Л.: ОНТИ, 1937.
↑ Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2011. — С. 20. — ISBN 978-5-94057-685-3.
↑ Кострикин, 2004, с. 112.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 247—251. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0481-0.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 247—251. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0481-0.
↑ Фихтенгольц Г. М. Т. 1 // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2001. — С. 56—57. — ISBN 5-9221-0156-0.
↑ Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — С. 10—15.
↑ Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Физматлит, 1977. — С. 47—48.
↑ Беняш-Кривец В. В., Мельников О. В. Лекции по алгебре: группы, кольца, поля: учебное пособие для студентов математических специальностей. — Минск: БГУ, 2008. — 116 с. — ISBN 978-985-518-049-5.

Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматгиз, 1959. — 459 с.
Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 2-е изд., стер.. — М.: МЦНМО, 2013. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-0209-8.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 280 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0481-0.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Физматлит, 1977. — 496 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 1. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0.
Юшкевич А. П. (ред.). История математики. — М.: Наука, 1970. — Т. 1: С древнейших времён до начала Нового времени. — 352 с.

[1] Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. и др. Математика : 6-й класс : базовый уровень : учебник : в 2 частях. Ч. 1. — 4-е изд., стер.. — М.: Просвещение, 2024. — С. 9, 99. — ISBN 978-5-09-110647-3.

[2] Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика. III—I тысячелетия до н. э.. — М.: Издательство восточной литературы, 1961. — С. 35—58.

[_858728446fadce4e-3] Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, 1959, с. 35.

[_a28e3f92b679ef66-4] Юшкевич, История математики, Том 1, 1970, с. 70—72.

[5] Ньютон, И. Математические работы / пер. и комментарии Д. Мордухай-Болтовского. — М.-Л.: ОНТИ, 1937.

[6] Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2011. — С. 20. — ISBN 978-5-94057-685-3.

[KOS112-7] Кострикин, 2004, с. 112.

[8] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 247—251. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0481-0.

[9] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 247—251. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0481-0.

[10] Фихтенгольц Г. М. Т. 1 // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2001. — С. 56—57. — ISBN 5-9221-0156-0.

[11] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — С. 10—15.

[12] Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Физматлит, 1977. — С. 47—48.

[13] Беняш-Кривец В. В., Мельников О. В. Лекции по алгебре: группы, кольца, поля: учебное пособие для студентов математических специальностей. — Минск: БГУ, 2008. — 116 с. — ISBN 978-985-518-049-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Обратное число

История

Обратное к действительному числу

Аксиоматическое определение

Запись

Свойства

Геометрический смысл

Обратное для нуля

Предельный переход

Расширения числовой прямой

Обратное к комплексному числу

Обратное к мнимой единице

Вариации и обобщения

Применения

Примечания

Литература

Дополнительно по теме

Категории