Поле частных

• Классическим примером области целостности является кольцо целых чисел; наименьшее расширение его до поля даёт поле рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• Возьмём в качестве ${\displaystyle R}$ кольцо гауссовых целых чисел вида ${\displaystyle a+bi,}$ где ${\displaystyle a,b}$ — обычные целые числа. Тогда ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$ — поле рациональных гауссовых чисел.
• Поле частных для любого поля изоморфно исходному полю.
• Пусть ${\displaystyle K}$ — поле. Тогда кольцо многочленов ${\displaystyle K[X]}$ с коэффициентами из этого поля всегда является областью целостности. Поле частных для ${\displaystyle K[X]}$ обозначается ${\displaystyle K(X)}$ и называется полем рациональных функций^[3].

Поле частных для области целостности ${\displaystyle R}$ строится так же, как поле рациональных чисел на основе кольца целых чисел^[4] (см. Рациональное число#Формальное определение). Рассмотрим множество упорядоченных пар элементов ${\displaystyle a,b\in R\ (b\neq 0)}$ и определим на нём отношение эквивалентности, как для дробей: пары ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (c,d)}$ эквивалентны, если ${\displaystyle ad=bc.}$ Поле частных ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ определяется как совокупность классов эквивалентности (факторкольцо). Класс, содержащий пару ${\displaystyle (a,b),}$ по аналогии с обычными дробями будем обозначать ${\displaystyle a/b}$ или ${\displaystyle {a \over b}.}$

Сумма ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ и ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ определяется, как для дробей: ${\displaystyle {\frac {ad+bc}{bd}}.}$ Аналогично определяется умножение: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$ Несложно проверить^[4]:

• результаты этих операций не зависят от выбора представителей в их классе эквивалентности;
• сложение обратимо, то есть всегда возможно вычитание;
• классы ${\displaystyle 0/b}$ и ${\displaystyle a/a}$ играют роль нуля и единицы соответственно;
• все аксиомы кольца выполнены.

Поэтому ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ — коммутативное кольцо. Оно содержит кольцо, изоморфное исходному кольцу ${\displaystyle R}$ — для доказательства сопоставим ${\displaystyle a\in R}$ класс, содержащий пару ${\displaystyle a/1.}$

Далее установим, что у каждого ненулевого класса ${\displaystyle {a \over b}}$ имеется обратный элемент ${\displaystyle {b \over a},}$ определённый однозначно (в этом месте доказательства используется отсутствие делителей нуля), и этот факт означает выполнимость деления. Таким образом, построенная структура ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ является полем.

Поле частных для заданной области целостности единственно с точностью до изоморфизма^[4].

Аналогичное построение может быть произведено для любого коммутативного кольца, результатом будет кольцо частных, которое, вообще говоря, не является полем — среди его элементов могут быть необратимые.

Поле частных кольца ${\displaystyle R}$ удовлетворяет следующему универсальному свойству: если h : ${\displaystyle R}$ → ${\displaystyle F}$ — инъективный гомоморфизм колец из ${\displaystyle R}$ в поле ${\displaystyle F}$, то существует единственный гомоморфизм колец g: ${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$ → ${\displaystyle F}$, который совпадает с h на элементах ${\displaystyle R}$. Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.

В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — области целостности, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряжённый, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.