Алгебраическое уравнение

Значения переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Выделяются следующие наиболее общие методы:

1. Метод разложения на множители.
2. Метод введения новой переменной^[1]. Суть метода введения новой переменной заключается в том, что путём замены некоторого входящего в уравнение выражения, содержащего переменную, в исходном уравнении либо понижается степень, либо от дробного переходят к целому уравнению, либо иррациональное уравнение сводят к рациональному, то есть исходное уравнение сводится к простейшему.
   Способы реализации (приёмы решения уравнений):
   • явная замена (то есть замена очевидна);
   • использование основного свойства дроби;
   • выделение квадрата двучлена.
   • переход к системе.
   • раскрытие множителей парами.
   • раскрытие множителей парами и деление обеих частей уравнения.
   • сведение к однородному уравнению.
   • тригонометрическая подстановка.
   • возвратные и симметричные (или симметрические) уравнения.
3. Метод перехода. Суть метода: переход от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы.
4. Функционально-графический метод

• Алгебраическое уравнение с одним неизвестным — уравнение вида ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0,}$ где ${\displaystyle n}$ — натуральное число.
• Линейное уравнение
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax+b=0,\quad a\neq 0.}$
  • от нескольких переменных: ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0.}$
• Квадратное уравнение
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0.}$
• Кубическое уравнение
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0.}$
• Уравнение четвёртой степени
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.}$
• Уравнение пятой степени
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,\quad a\neq 0.}$
• Уравнение шестой степени
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\quad a\neq 0.}$
• Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0,}$ коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если ${\displaystyle a_{n-k}=a_{k},}$, при ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}$.