Алгебраическое уравнение

В уравнении ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}=0}$ величины ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ называются коэффициентами уравнения и являются данными. Коэффициенты алгебраического уравнения предполагаются не все равными нулю. Если ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$, то ${\displaystyle n}$ называется степенью уравнения.

В уравнении ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}=0}$, величина ${\displaystyle x}$ называется неизвестным и является искомым. Значения неизвестного ${\displaystyle x}$, которые удовлетворяют данному уравнению, то есть при подстановке вместо ${\displaystyle x}$ обращают уравнение в тождество, называются корнями уравнения, а также корнями многочлена вида ${\displaystyle P_{n}(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}}$.

Решить уравнение — значит найти все его корни, лежащие в рассматриваемой области значений неизвестного^[1].

Любое уравнение вида ${\displaystyle P(x_{1},...,x_{n})=0}$, где ${\displaystyle P(x_{1},...,x_{n})}$ — многочлен (отличный от нулевого) относительно ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ называется алгебраическим уравнением относительно переменных ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$.

Коэффициенты многочлена могут при этом быть как постоянными, так и параметрами (то есть переменными, отличными от ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$) или функциями таких параметров.

Среди неалгебраических уравнений те уравнения, в которые переменные, рассматриваемые как неизвестные, входят под знаками трансцендентных функций, называются трансцендентными уравнениями. Иногда неалгебраические уравнения можно преобразовать в алгебраические (не обязательно эквивалентные исходным).

Всякое алгебраическое уравнение относительно ${\displaystyle x}$ можно записать в виде

${\displaystyle A_{0}x^{n}+A_{1}x^{n-1}+...+A_{n-1}x+A_{n}=0}$; ${\displaystyle A_{0}\neq 0}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$; ${\displaystyle A_{i}}$ называются коэффициентами уравнения, ${\displaystyle n}$ — его степенью.

Если все коэффициенты ${\displaystyle A_{i}}$ являются параметрами, то уравнение называется общим алгебраическим уравнением относительно ${\displaystyle x}$ степени ${\displaystyle n}$.

Если алгебраическое уравнение разделить на ${\displaystyle A_{0}\neq 0}$, то, обозначая ${\displaystyle A_{i}/A_{0}=a_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,...,n)}$, получают каноническую форму алгебраического уравнения ${\displaystyle n}$-й степени относительно ${\displaystyle x}$^[2]:

Каноническая форма алгебраического уравнения ${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$.

Кольцом называется множество ${\displaystyle K}$ с операциями сложения и умножения, обладающими определёнными свойствами.

Полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент обратим^[3].

Пусть ${\displaystyle K}$ — произвольное (но фиксированное) поле. Линейным уравнением с неизвестными ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ над полем ${\displaystyle K}$ называется уравнение вида ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}$, где коэффициенты ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ и свободный член ${\displaystyle b}$ суть элементы поля ${\displaystyle K}$. Линейное уравнение называется однородным, если ${\displaystyle b=0}$^[4].

Каждое линейное уравнение есть алгебраическое уравнение первой степени, то есть неизвестное встречается только в первой степени. Существуют также уравнения, эквивалентные линейному. При изменении множества, над которым определяется решение, изменяется и разрешимость уравнения. Так, уравнение ${\displaystyle 2x+5=0}$ неразрешимо над множеством натуральных чисел.

• Линейное уравнение с одним неизвестным ${\displaystyle x}$ и областью изменения ${\displaystyle \mathbb {R} }$ имеет вид ${\displaystyle ax+b=0,\quad a\neq 0}$, ${\displaystyle ax}$ — линейный член, ${\displaystyle b}$ — свободный член. Это уравнение имеет одно решение ${\displaystyle x=-b/a}$^[5].
• Для линейного уравнения с двумя неизвестными, вида ${\displaystyle ax+by+c=0}$, пара ${\displaystyle (x,y)}$ является решением и может быть отражена в прямоугольной системе координат в виде точки в двумерном пространстве. В таком случае все решения уравнения формируют линию при условии, что ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ не равняются нулю.

Каждое алгебраическое уравнение второй степени называется квадратным уравнением. Квадратное уравнение относительно ${\displaystyle x}$ с областью изменения ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — множество комплексных чисел) имеет вид

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0.}$ Здесь ${\displaystyle ax^{2}}$ — квадратный, ${\displaystyle bx}$ — линейный и ${\displaystyle c}$ — свободный члены.

После деления на ${\displaystyle a}$ получается каноническая форма: ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$, где ${\displaystyle p=b/a}$, ${\displaystyle q=c/a}$ — действительные параметры.

Уравнение 3-й степени, или кубическое уравнение, имеет вид ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0}$,

${\displaystyle a,b,c,d}$— действительные, при этом ${\displaystyle ax^{3}}$ — кубический, ${\displaystyle bx^{2}}$ — квадратный, ${\displaystyle cx}$ — линейный и ${\displaystyle d}$ — свободный члены.

После деления на ${\displaystyle a}$ уравнение принимает канонический вид: ${\displaystyle x^{3}+rx^{2}+sx+t=0}$, где ${\displaystyle r=b/a}$, ${\displaystyle s=c/a}$, ${\displaystyle t=d/a}$. Делая в этом уравнении замену неизвестного ${\displaystyle y=x+(r/3)(x=y-(r/3))}$, получают так называемое приведённое уравнение:

${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$, где ${\displaystyle p={\frac {3s-r^{2}}{3}}}$, ${\displaystyle q={\frac {2r^{3}}{27}}-{\frac {rs}{3}}+t}$^[6].

Корни алгебраических уравнений только до четвёртой степени включительно выражаются через коэффициенты при помощи конечного числа алгебраических операций. В этом случае каждое решение выражается в радикалах, то есть представляет собой выражение, возникающее посредством вложения друг в друга нескольких корней; показатели этих корней — целые числа ${\displaystyle p\geqslant 2}$, а подкоренные выражения суть рациональные функции коэффициентов или сами содержат радикалы.

• Применение формулы дискриминанта.

Число действительных решений квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ зависит от знака дискриминанта ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$:

1. если ${\displaystyle D>0}$, то имеется два действительных корня:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}$;

2. если ${\displaystyle D=0}$, то имеется одно решение (два действительных совпадающих корня): ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$;

3. если ${\displaystyle D<0}$, то нет действительных решений (два комплексных корня).

• Разложение нa линейные множители.

В случае, если удаётся разложить квадратный трёхчлен на линейные множители: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )}$ уравнение ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ имеет множество решений ${\displaystyle L=\{\alpha ,\beta \}}$.

• Разложение левой части на линейные множители.

Если удаётся найти разложение ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )}$, то уравнение ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ имеет множество решений ${\displaystyle \{\alpha ,\beta ,\gamma \}}$. Достаточно найти разложение вида ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-\alpha )(x^{2}+\rho x+\sigma )}$ (выделение линейного множителя); тогда одно решение есть ${\displaystyle x_{1}=\alpha }$, а два других находятся путём решения квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}+\rho x+\sigma =0}$. Очевидно, выделение линейного множителя всегда возможно, если известно одно решение уравнения или это решение можно подобрать.

• Применение формулы Кардано.

Формула Кардано для кубического уравнения ${\displaystyle x^{3}+rx^{2}+sx+t=0}$ относится к его приведённому виду ${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$.

• Применение вспомогательных величин, которые могут быть вычислены при помощи таблиц.
• Приближённое решение уравнения.

• Разложение на линейные множители.

В том случае, если удаётся произвести разложение многочлена ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )}$, то уравнение ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$ имеет множество решений ${\displaystyle \{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}}$. Достаточно найти разложение левой части уравнения 4-й степени в произведение двух квадратных трёхчленов: тогда решение уравнения 4-й степени сводится к решению двух квадратных уравнений.

• Если в уравнении ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$ ${\displaystyle b=d=0}$, то это есть биквадратное уравнение: ${\displaystyle ax^{4}+cx^{2}+e=0}$. Посредством замены переменного ${\displaystyle x^{2}=t}$ это уравнение переводится в квадратное уравнение ${\displaystyle at^{2}+ct+e=0}$. Из решений ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ этого уравнения, полагая ${\displaystyle x^{2}=t}$, получают корни исходного уравнения 4-й степени.

Уравнения пятой и более высоких степеней в общем случае принципиально неразрешимы в радикалах. Чаще всего их решают приближёнными методами. Если можно подобрать решение ${\displaystyle x_{1}}$, то выделением линейного множителя ${\displaystyle (x-x_{1})}$ решение заданного уравнения сводится к решению уравнения меньшей степени.

Всякое алгебраическое уравнение, не превосходящее четвёртой степени, решается в радикалах. Полное решение вопроса о том, при каких условиях алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах было получено Э. Галуа (1830) и является предметом исследования Теории Галуа. Разрешимость уравнений в радикалах тесно связана с вопросом о геометрических построениях с помощью циркуля и линейки, в частности с задачей о делении окружности на ${\displaystyle n}$ равных частей^[7].

Для отыскания корней алгебраического уравнения с коэффициентами из поля действительных или комплексных чисел степени выше второй, как правило, используются методы вычислительной математики. Часто возникают задачи определения границ и числа корней. В случае действительных коэффициентов более точную границу обычно даёт метод Ньютона. К определению верхней границы положительных корней сводится определение нижней границы положительных, а также верхней и нижней границ отрицательных корней. Для определения числа действительных корней проще всего применить правило знаков Декарта (см. ниже). Точное число действительных корней, лежащих на данном интервале (в частности, число всех действительных корней), многочлена с действительными коэффициентами, не имеющего кратных корней, можно найти по теореме Штурма (см. ниже). Иногда требуется найти корни специального вида, так, например, критерий Гурвица даёт необходимое и достаточное условие для того, чтобы все корни уравнения (с комплексными коэффициентами) имели отрицательные действительные части^[8].

Если заданы ${\displaystyle m}$ уравнений с ${\displaystyle n}$ неизвестными и требуется найти последовательности из ${\displaystyle n}$ чисел, которые одновременно удовлетворяют каждому из ${\displaystyle m}$ уравнений, то говорят о системе уравнений. Если все ${\displaystyle m}$ уравнений линейны, то система уравнений называется системой линейных уравнений. Такие системы могут решаться методами линейной алгебры.

Систему двух алгебраических уравнений любых степеней с двумя неизвестными ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ можно записать в виде

${\displaystyle {\begin{cases}P_{n}(x,y)=a_{0}(x)y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+...+a_{n}(x)=0,&\\Q_{s}(x,y)=b_{0}(x)y^{s}+b_{1}(x)y^{s-1}+...+b_{s}(x)=0,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle a_{i}(x)}$ и ${\displaystyle b_{j}(x)}$ — многочлены от одного неизвестного ${\displaystyle x}$. Если ему придать некоторое числовое значение, получится система двух уравнений с одним неизвестным ${\displaystyle y}$ с постоянными коэффициентами ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{j}}$, решение которой находится при помощи результанта этой системы. Задача решения систем любого числа алгебраических уравнений с любым числом неизвестных приводит к громоздким вычислениям. Такие системы решаются с использованием теории исключений^[9].

Если ${\displaystyle x_{1}}$ — корень уравнения ${\displaystyle P_{n}(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$, то многочлен ${\displaystyle P_{n}(x)}$, стоящий в левой части уравнения, делится на ${\displaystyle (x-x_{1})}$ без остатка и получаемое частное есть многочлен ${\displaystyle P_{n-1}(x)}$ степени ${\displaystyle n-1}$:

${\displaystyle P_{n}(x)=(x-x_{1})P_{n-1}(x)}$.

В общем случае остаток от деления ${\displaystyle P_{n}(x)}$ на ${\displaystyle (x-x_{1})}$ равен ${\displaystyle R_{n}(x_{1})}$:

${\displaystyle P_{n}(x)=(x-x_{1})P_{n-1}(x)+R_{n}(x_{1})}$.

Если ${\displaystyle P_{n}(x)}$ делится без остатка на ${\displaystyle (x-x_{1})^{k}}$, но уже не делится на ${\displaystyle (x-x_{1})^{k+1}}$, то ${\displaystyle x_{1}}$, называется ${\displaystyle k}$-кратным корнем уравнения ${\displaystyle P_{n}(x)=0}$ (корнем кратности ${\displaystyle k}$). В этом случае ${\displaystyle x_{1}}$ есть общий корень полинома ${\displaystyle P_{n}(x)}$ и его производных вплоть до (${\displaystyle k-1}$)-го порядка.

Каждое алгебраическое уравнение ${\displaystyle n}$-й степени ${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$, коэффициенты которого ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,...,n)}$ — действительные или комплексные числа, имеет ровно ${\displaystyle n}$ корней, действительных или комплексных, если ${\displaystyle k}$-кратный корень считать за ${\displaystyle k}$ корней.

Если корни многочлена ${\displaystyle P_{n}(x)}$ равны ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{r}}$, и кратности их равны соответственно ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}{\Biggl (}\sum _{i=1}^{r}\alpha _{i}=n{\Biggr )}}$, то многочлен представим в виде произведения:

${\displaystyle P_{n}(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=(x-x_{1})^{\alpha _{1}}(x-x_{2})^{\alpha _{2}}...(x-x_{r})^{\alpha _{r}}}$,

и соответствующее уравнение имеет вид ${\displaystyle (x-x_{1})^{\alpha _{1}}(x-x_{2})^{\alpha _{2}}...(x-x_{r})^{\alpha _{r}}=0}$^[10].

Для уравнения ${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$ имеет место следующая зависимость между корнями уравнения (с учётом кратности) и его коэффициентами ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,...,n)}$:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=-a_{1}}$;

${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}=\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}x_{j}=a_{2}}$, где ${\displaystyle i<j}$;

${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+...+x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=\sum _{i,j,k=1}^{n}x_{i}x_{j}x_{k}=-a_{3}}$, где ${\displaystyle i<j<k}$;

${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{n}=(-1)^{n}a_{n}}$.

Таким образом, если уравнение имеет целочисленные коэффициенты и целочисленное решение, то это решение является делителем свободного члена^[10].

При помощи теоремы Штурма можно определить число действительных корней уравнения с действительными коэффициентами. Эта теорема утверждает: если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle a<b}$) не являются корнями ${\displaystyle Q(x)}$, то разность ${\displaystyle w(a)-w(b)}$ равна числу действительных корней ${\displaystyle Q(x)}$ в промежутке ${\displaystyle [a,b]}$.

Чтобы найти число всех действительных корней уравнения, нужно найти промежуток, содержащий все корни, и применить к нему теорему Штурма. Для этого служит правило Ньютона.

Пусть ${\displaystyle P(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$, ${\displaystyle a_{0}>0}$ — уравнение ${\displaystyle n}$-й степени. Число ${\displaystyle g}$ такое, что ${\displaystyle P(x)>0,}$ ${\displaystyle P'(x)>0,...,}$ ${\displaystyle P^{(n-1)}(x)>0}$ для всех ${\displaystyle x>g}$, есть верхняя граница действительных корней уравнения ${\displaystyle P(x)=0}$. Число ${\displaystyle h}$ есть нижняя граница действительных корней этого уравнения, если ${\displaystyle -h}$ есть верхняя граница действительных корней уравнения ${\displaystyle P(-x)=0}$.

Число положительных корней (подсчитанное с учётом их кратности) уравнения ${\displaystyle P(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$ не больше числа перемен знака в последовательности ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ коэффициентов ${\displaystyle P(x)}$ и может отличаться от него лишь на чётное число. Если уравнение имеет только действительные корни, то число его положительных корней равно числу перемен знака в ряду коэффициентов.

В частности, каждое уравнение чётной степени, первый и последний коэффициенты которого имеют различные знаки, имеет по меньшей мере один положительный и один отрицательный корни. Каждое уравнение нечётной степени имеет по меньшей мере один действительный корень знака (${\displaystyle -a_{n}/a_{0}}$); число его действительных корней другого знака — чётное число (или нуль). Правило Декарта позволяет также оценить число действительных корней уравнения ${\displaystyle P(x)=0}$ в промежутке ${\displaystyle [a,b]}$^[11].

Теорема Абеля об алгебраических уравнениях:

Ни для какого ${\displaystyle n}$ большего или равного пяти, нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения ${\displaystyle n}$-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов.

Найдена Н. Абелем в 1824 году. Эта теорема может быть получена также как следствие теории Галуа, из которой вытекает и более общее утверждение: для любого ${\displaystyle n\geqslant 5}$ существуют алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, корни которых не выражаются через радикалы из рациональных чисел^[12]. Современная формулировка теоремы Абеля:

Пусть ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$ — уравнение степени ${\displaystyle n>4}$ с буквенными коэффициентами ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$.

${\displaystyle K}$ — любое поле и ${\displaystyle P}$ — поле рациональных функций от ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ с коэффициентами из ${\displaystyle K}$.

Тогда корни данного уравнения (лежащие в некотором расширении поля ${\displaystyle P}$) нельзя выразить через коэффициенты этого уравнения при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения, деления (имеющих смысл в поле ${\displaystyle P}$) и знаков корня (имеющих смысл в расширении поля ${\displaystyle P}$).

Иными словами, общее алгебраическое уравнение ${\displaystyle n}$-ной степени при ${\displaystyle n>4}$ неразрешимо в радикалах.

Теорема Абеля не исключает, однако, того, что каждое алгебраическое уравнение с данными числовыми коэффициентами (или коэффициентами из данного поля) решается в радикалах. Уравнения любой степени ${\displaystyle n}$ некоторых частных видов решаются в радикалах (например, двучленные уравнения)^[13].

Формула для отыскания корней кубического уравнения над полем комплексных чисел ${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$^[14].

Метод сведения решения уравнения 4-й степени к решению одного кубического и двух квадратных уравнений^[15].

Основная теорема Галуа теории о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах формулируется следующим образом^[13]:

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — многочлен с коэффициентами из поля ${\displaystyle K}$, неприводимый над ${\displaystyle K}$. Тогда:

1) если хотя бы один корень уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ выражается в радикалах через коэффициенты этого уравнения, причём показатели радикалов не делятся на характеристику поля ${\displaystyle K}$, то группа Галуа этого уравнения над полем ${\displaystyle K}$ разрешима;

2) обратно, если группа Галуа уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ над полем ${\displaystyle K}$ разрешима, причём характеристика поля ${\displaystyle K}$ или равна нулю, или больше всех порядков композиционных факторов этой группы, то все корни уравнения представляются в радикалах через его коэффициенты, причём все показатели встречающихся радикалов ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ — простые числа, а соответствующие этим радикалам двучленные уравнения ${\displaystyle x^{n}-a=0}$ неприводимы над полями, к которым эти радикалы присоединяются.