Рациональные числа

• Множество рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (от лат. quotient, «частное») включает множество натуральных чисел (${\displaystyle \mathbb {N} }$), множество целых чисел (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) и представляет собой расширение этих множеств путём добавления к ним дробей: ${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} \right\}}$;
• Натуральные числа: числа, используемые при счёте предметов: 1, 2, 3, и так далее. Ноль не является натуральным числом: ${\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}}$;

• Целые числа — натуральные числа, их отрицания и ноль: ${\displaystyle \mathbb {Z} =\left\{...-2,-1,0,1,2,...\right\}}$. Целые числа могут быть записаны в виде дроби обыкновенной или десятичной: ${\displaystyle -5=-{\frac {20}{4}}=-5,00}$;
• Обыкновенная дробь — выражение вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, где ${\displaystyle m}$ — числитель, а ${\displaystyle n}$ — знаменатель;

• Несократимая дробь — дробь, в которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их НОД равен 1.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанным числом.

• Смешанные числа: комбинация целой части и правильной дроби.

 Пример: ${\displaystyle 2{\frac {3}{5}}=2+{\frac {3}{5}}={\frac {13}{5}}}$.

• Если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и тоже число (отличное от 0), то получится равная ей дробь:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {ma}{mb}}}$ Пример: ${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}}$ - исходную дробь умножили на 3.

Переход от дроби ${\displaystyle {\frac {ma}{mb}}}$ к равной дроби ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ называется сокращением дроби на число ${\displaystyle m}$. 

Пример: ${\displaystyle {\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}}$ - исходную дробь сократили на 4.

• Две дроби ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ и ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ равны, если, при общем знаменателе, равны их числители:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{b}}}$, если ${\displaystyle {a}={c}}$ и ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, если ${\displaystyle {ad}={bc}}$

• Если знаменатели дробей положительны: ${\displaystyle b,d>0}$, тогда:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}}$ , если ${\displaystyle {ad}>{bc}}$ и ${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$, если ${\displaystyle {ad}<{bc}}$

Сравним ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ и ${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$.

Приведём дроби к знаменателю ${\displaystyle 20}$: ${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}}$;

Так как ${\displaystyle 15<16}$, то ${\displaystyle {\frac {15}{20}}<{\frac {16}{20}}}$ и ${\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}$.

• Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен степени числа 10, записывают в виде десятичной дроби:

 ${\displaystyle {\frac {7}{10}}=0{,}7}$; ${\displaystyle {\frac {81}{100}}=0{,}81}$; ${\displaystyle {\frac {3678}{1000}}=3{,}678}$.

• Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые множители 2 или 5, то её можно привести к знаменателю степени числа 10:

${\displaystyle {\frac {7}{25}}={\frac {28}{100}}=0{,}28}$; ${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {75}{100}}=0{,}75}$.

• Если знаменатель несократимой дроби содержит другие простые множители, кроме 2 или 5, то её нельзя привести к знаменателю степени числа 10. В этих случаях при делении числителя на знаменатель в остатке не появляется 0, и деление можно продолжать бесконечно. Начиная с некоторого момента в остатке цифра или группа цифр повторяются. Эту часть называют периодом. А получившуюся дробь называют периодической десятичной дробью:

${\displaystyle {\frac {7}{6}}=1{,}16666...=1{,}1(6)}$.

• Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав к десятичной дроби последовательность нулей. То же утверждение верно и для любого целого числа:

${\displaystyle 4{,}15=4{,}150000...=4{,}15(0)}$; ${\displaystyle -96=-96{,}0000...=-96{,}(0)}$.

Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.

• В измерениях и вычислениях, где требуются точные значения.
• В задачах на деление предметов или величин на равные части.
• В алгебре при решении уравнений и выражении коэффициентов.

Рациональные числа расширяют понятие целых чисел, позволяя выражать доли и отношения. Они являются фундаментальным инструментом в математике, обеспечивая возможность точных вычислений и анализа. Понимание свойств рациональных чисел необходимо для изучения алгебры, геометрии и математического анализа.